上海市松江一中2015-2016学年高二（上）第二次段考数学试卷（理科）（解析版）VIP

2015-2016学年上海市松江一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、填空题1过点（1，2）、（3，6）的直线的斜率为2以（1，2）为圆心且过原点的圆的方程为3若直线l：y=kx经过点P（sin，cos），则直线l的倾斜角为=4若直线xy1=0与xay=0的夹角是，则实数a的值为5过点（1，2）且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是6k取任意实数时，直线2（k1）x+（k6）yk4=0恒过点P，则点P的坐标为7直线3xy+3=0关于xy2=0对称的直线方程为8在平面直角坐标系下，到点A（2，3）的距离和直线x+y1=0的距离相等的点的轨迹方程是9已知圆C在x轴上的截距为1和3，在y轴上的一个截距为1则圆C的标准方程为10已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=11若直线y=k（x3）+4和曲线y=有且只有一个交点，则实数k的取值范围为12已知椭圆=1及以下3个函数：f（x）=x；f（x）=sinx；f（x）=xsinx，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有个二、选择题13直线xy=0与圆（x1）2+y2=2的位置关系是（）A相交不过圆心B相交过圆心C相切D相离14对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件15与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是（）ABC D16下列五个命题：直线l的斜率k1，1，则直线l的倾斜角的范围是；直线l：y=kx+1与过A（1，5），B（4，2）两点的线段相交，则k4或；如果实数x，y满足方程（x2）2+y2=3，那么的最大值为；直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是m1；方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圆的充要条件是或m1；正确的是（）ABCD三、解答题（共48分）17（1）要使直线l1：（2m2+m3）x+（m2m）y=2m与直线l2：xy=1平行，求m的值（2）直线l1：ax+（1a）y=3与直线l2：（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，求a的值18已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程19在直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，），（0，）的距离之和等于4，设动点P的轨迹为曲线C（1）写出曲线C的方程；（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围20已知直线l：kxy+1+2k=0（kR）（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为4，求直线l的方程21由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比已知椭圆C1： =1（1）若椭圆C2： =1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围2015-2016学年上海市松江一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1过点（1，2）、（3，6）的直线的斜率为2【考点】直线的斜率【专题】计算题；方案型；数学模型法；直线与圆【分析】直接代入由两点坐标求直线的斜率公式得答案【解答】解：点（1，2）、（3，6），由两点求斜率公式可得，过点（1，2）、（3，6）的直线的斜率为k=故答案为：2【点评】本题考查由两点坐标求直线的斜率公式，是基础的会考题型2以（1，2）为圆心且过原点的圆的方程为（x1）2+（y+2）2=5【考点】圆的标准方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】因为要求的圆的圆心知道，且圆经过原点，所以圆心到原点的距离就是圆的半径，然后直接代入圆的标准方程即可【解答】解：设圆心是C，因为圆经过原点，所以半径r=，所以圆的标准方程为（x1）2+（y+2）2=5故答案为：（x1）2+（y+2）2=5【点评】本题考查了圆的标准方程，解答此题的关键是求出圆的半径，是基础题3若直线l：y=kx经过点P（sin，cos），则直线l的倾斜角为=【考点】直线的点斜式方程【专题】计算题；直线与圆【分析】求三角函数值化简P点坐标，把P的坐标代入直线方程求k，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围可求直线l的倾斜角【解答】解：P（sin，cos）=P（），因为y=kx经过点P，所以，解得则，又0，所以故答案为【点评】该题考查了直线的点斜式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，训练了学生对三角函数的灵活运用，是基础题4若直线xy1=0与xay=0的夹角是，则实数a的值为或0【考点】两直线的夹角与到角问题【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆【分析】当直线xay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90，而直线xy1=0的倾斜角为60，满足条件当直线xay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式求出a的值【解答】解：直线xy1=0的斜率为，直线xay=0的斜率不存在或是当直线xay=0的斜率不存在时，a=0，倾斜角为90，而直线xy1=0的倾斜角为60，满足条件当直线xay=0的斜率是时，由两条直线的夹角公式可得tan=，解得a=故答案为：或0【点评】本题主要考查两直线的夹角公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题5过点（1，2）且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是x+2y5=0【考点】圆的切线方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】求出圆的圆心为O（0，0），半径r=设过P点的切线方程为y2=k（x1），利用点到直线的距离建立关于k的等式，解之得k=，即可得到所求圆的切线方程【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=根据题意，可得过P（1，2）的切线斜率存在，设其方程为y2=k（x1），即kxy+2k=0直线与圆x2+y2=5相切，圆心O到直线的距离等于半径r，即d=，化简整理得：4k2+4k1=0，解之得k=，直线方程为y2=（x1），化简得x+2y5=0故答案为：x+2y5=0【点评】本题给出圆的方程，求圆经过定点的切线方程着重考查了直线的方程、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题6k取任意实数时，直线2（k1）x+（k6）yk4=0恒过点P，则点P的坐标为（1，1）【考点】恒过定点的直线【专题】直线与圆【分析】将直线的方程2（k1）x+（k6）yk4=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点，此点即为直线恒过的定点【解答】解：直线2（k1）x+（k6）yk4=0可化为k（2x+y1）+（2x6y4）=0由题意，可得，直线2（k1）x+（k6）yk4=0恒过一定点（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考点是过两条直线交点的直线系，考查由直线系方程求其过定点的问题，属于基础题7直线3xy+3=0关于xy2=0对称的直线方程为x2y9=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【专题】计算题【分析】利用当对称轴斜率为1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程【解答】解：因为直线xy2=0的斜率为1，故有将其代入直线3xy+3=0即得：3（y+2）（x2）+3=0，整理即得 x3y11=0故答案为：x3y11=0【点评】本题考查求一直线关于某直线的对称直线方程的求法当对称轴斜率为1时，由对称轴方程分别解出x，y，代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程8在平面直角坐标系下，到点A（2，3）的距离和直线x+y1=0的距离相等的点的轨迹方程是xy+5=0【考点】轨迹方程【专题】计算题；直线与圆【分析】确定所求的轨迹是过点A（2，3）且垂直于直线x+y1=0的直线，即可得出结论【解答】解：由于点A（2，3）位于直线x+y1=0上，所以所求的轨迹是过点A（2，3）且垂直于直线x+y1=0的直线，设方程为xy+c=0，代入A（2，3）得出c=5，所以所求的方程为xy+5=0故答案为：xy+5=0【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，比较基础9已知圆C在x轴上的截距为1和3，在y轴上的一个截距为1则圆C的标准方程为（x1）2+（y+1）2=5【考点】椭圆的简单性质【专题】方程思想；分析法；直线与圆【分析】设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由题意可得圆过点（1，0），（3，0），（0，1），代入圆的方程，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程【解答】解：设圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，由题意可得圆过点（1，0），（3，0），（0，1），代入方程可得，解方程可得a=1，b=1，r=，则所求圆的方程为（x1）2+（y+1）2=5故答案为：（x1）2+（y+1）2=5【点评】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础题10已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8【考点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=2012=8故答案为：8【点评】本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题11若直线y=k（x3）+4和曲线y=有且只有一个交点，则实数k的取值范围为【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；数形结合；综合法；直线与圆【分析】由曲线方程的特点得到此曲线表示在x轴上方的圆的一半，可得出圆心坐标和圆的半径r，然后根据题意画出相应的图形，根据图形，直线y=k（x3）+4，恒过（3，4），由图形过（3，4），（3，0）的直线的斜率为；由圆心到直线的距离d=3，可得直线与圆相切时，直线的斜率为，综上，得到满足题意的k的范围【解答】解：由题意可知：曲线方程表示一个在x轴上方的圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=3，画出相应的图形，如图所示：直线y=k（x3）+4，恒过（3，4），由图形过（3，4），（3，0）的直线的斜率为；由圆心到直线的距离d=3，可得直线与圆相切时，直线的斜率为综上，直线与曲线只有一个交点时，k的取值范围为故答案为：【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，考查数形结合的思想，根据题意得出此曲线表示在y轴右边的单位圆的一半，并画出相应的图形是解本题的关键12已知椭圆=1及以下3个函数：f（x）=x；f（x）=sinx；f（x）=xsinx，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个【考点】椭圆的简单性质【专题】综合题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】作出函数图象，数形结合分析即可【解答】解：f（x）=x为奇函数，作出其图象，由图可知f（x）=x能等分该椭圆面积；同理，f（x）=sinx为奇函数，能等分该椭圆面积；f（x）=xsinx为偶函数，其图象关于y轴对称，在y轴右侧x（0，）时，f（x）0，只有x（，4）时f（x）0，故不能等分该椭圆面积故答案为：2【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查分析理解与空间想象的能力，考查作图能力，属于难题二、选择题13直线xy=0与圆（x1）2+y2=2的位置关系是（）A相交不过圆心B相交过圆心C相切D相离【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判断d与r的大小即可得到直线与圆的位置关系，同时检验圆心是否在已知直线上，即可得到正确的选项【解答】解：由圆的方程得到圆心坐标为（1，0），半径r=，圆心到直线xy=0的距离d=r，且圆心（1，0）不在直线xy=0上，直线与圆的位置关系是相交不过圆心故选A【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当0dr时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离14对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】常规题型【分析】先根据mn0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn0，即可得到结论【解答】解：当mn0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn0；由上可得：“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件故选B【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题15与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据椭圆9x2+4y2=36求得焦点坐标，进而求得椭圆的半焦距c，根据椭圆的短轴长为4求得b，最后根据b和c与a的关系求得a即可【解答】解：椭圆9x2+4y2=36，c=，椭圆的焦点与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点椭圆的半焦距c=，即a2b2=5短轴长为4b=2，a=5椭圆的标准方程为故选B【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的问题要熟练掌握椭圆方程中a，b和c的关系，求椭圆的方程时才能做到游刃有余16下列五个命题：直线l的斜率k1，1，则直线l的倾斜角的范围是；直线l：y=kx+1与过A（1，5），B（4，2）两点的线段相交，则k4或；如果实数x，y满足方程（x2）2+y2=3，那么的最大值为；直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是m1；方程x2+y2+4mx2y+5m=0表示圆的充要条件是或m1；正确的是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑【分析】直线l的斜率k1，1，则直线l的倾斜角满足：1tan1，解出即可判断出直线l经过P（0，1），kPA=4，kPB=，由于直线l与线段AB相交，可得k4或，即可判断出正误；设=k，则y=kx，当此直线与圆相切时， =，解得k=，即可得出k的最大值，进而判断出正误；把直线方程代入椭圆方程可得：（m+5k2）x2+10kx+55m=0，m0，m5，由直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，可得0，解得m范围，即可判断出正误；方程x2+y2+4mx2y+5m=0配方为：（x+2m）2+（y1）2=4m2+15m，表示圆的充要条件是4m2+15m0，解得m，即可判断出正误【解答】解：设直线l的倾斜角为，直线l的斜率k1，1，则1tan1，直线l的倾斜角的范围是，因此不正确；直线l：y=kx+1与过A（1，5），B（4，2）两点的线段相交，直线l经过P（0，1），kPA=4，kPB=，则k4或，正确；如果实数x，y满足方程（x2）2+y2=3，设=k，则y=kx，当此直线与圆相切时， =，解得k=，因此k的最大值为，正确；把直线方程代入椭圆方程可得：（m+5k2）x2+10kx+55m=0，m0，m5，由直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，可得=100k220（1m）（m+5k2）0，解得0m1，因此不正确；方程x2+y2+4mx2y+5m=0配方为：（x+2m）2+（y1）2=4m2+15m，表示圆的充要条件是4m2+15m0，解得或m1，因此正确综上可得：正确的是故选：D【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、直线的斜率、直线与圆锥曲线的位置关系、圆的一般方程与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（共48分）17（1）要使直线l1：（2m2+m3）x+（m2m）y=2m与直线l2：xy=1平行，求m的值（2）直线l1：ax+（1a）y=3与直线l2：（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，求a的值【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆【分析】（1）由两直线平行列式求得m的值，代入两平行线间的距离公式得答案（2）直接由A1A2+B1B2=0得答案；【解答】解：（1）直线l1：（2m2+m3）x+（m2m）y=2m与直线l2：xy=1平行，可得：m2m+（2m2+m3）=0，即3m23=0，解得m=1，当m=1时，直线l1不存在，当m=1时，直线l1：（2m2+m3）x+（m2m）y=2m化为：xy=1，两条直线重合，所以m无解；（2）直线l1：ax+（1a）y=3与直线l2：（a1）x+（2a+3）y=2互相垂直，可得：a（a1）+（1a）（2a+3）=0，解得：a=1或3【点评】本题考查了利用直线的一般式方程判断两条直线的平行于垂直，对于两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，当A1A2+B1B2=0时两直线垂直；是基础题18已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质【专题】计算题；综合题【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+12=0配方得标准方程为x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=，x1x2=则AB=2两边平方并代入解得：a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=0【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题19在直角坐标系xOy中，动点P到两点（0，），（0，）的距离之和等于4，设动点P的轨迹为曲线C（1）写出曲线C的方程；（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，求实数m的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的定义【分析】（1）由椭圆定义可判断曲线C为椭圆，且a=2，c=，根据a，b，c的关系，可求出b的值，进而得到椭圆方程（2）若直线y=x+m与曲线C有交点，则联立椭圆与直线y=x+m的方程，得到的方程组必有解，消去y，得到关于x的一元二次方程中0，就可求出m的范围【解答】解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，），（0，）为焦点，长半轴长为2的椭圆它的短半轴b=1曲线C的方程为（2）联立方程组，消去y得5x2+2mx+m24=0因为曲线C与直线y=x+m有交点，所以=4m220（m24）0化简得m250解得m所以m的取值范围为，【点评】本题主要考察了定义法求椭圆方程，以及直线与椭圆相交位置关系的判断20已知直线l：kxy+1+2k=0（kR）（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为4，求直线l的方程【考点】直线的一般式方程；直线的截距式方程【专题】计算题；方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】（1）可求得直线l的方程及直线l在y轴上的截距，依题意则，从而可解得k的取值范围；（2）依题意可求得A（，0），B（0，1+2k），SAO