自动控制-03线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法,3-1控制系统的时域指标3-2一阶系统的时间响应3-3二阶系统分析3-4控制系统的稳定性和代数判据3-5稳态误差的分析和计算,3-1控制系统的时域指标,所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。,对于一单输入单输出n阶线性定常系统，可用一n阶常系数线性微分方程来描述。,系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。由线性微分方程理论知，方程式的解由两部分组成，即c(t)=c1(t)+c2(t)c1(t)对应齐次微分方程的通解c2(t)非齐次微分方程的一个特解,从系统时域响应的两部分看，稳态分量(特解)是系统在时间t时的输出，衡量其好坏的是稳态性能指标：稳态误差。系统响应的暂态分量是指从t=0开始到进入稳态之前的这一段过程，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如稳定性、快速性、平稳性等来衡量。,1稳态性能指标采用稳态误差ess来衡量，其定义为：当时间t趋于无穷时，系统输出响应的期望值与实际值之差。即,2动态性能指标,一.上升时间tr响应曲线从零首次上升到稳态值h()所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。二.峰值时间tp响应曲线超过稳态值h()达到第一个峰值所需的时间。三.调节时间ts在稳态值h()附近取一误差带，通常取,响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。四.超调量%响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即,超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。五.振荡次数N在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。tr,tp和ts表示控制系统对输入信号产生反应的快速性，而%和N反映系统动态过程的平稳性，即系统的阻尼程度。其中ts和%是最重要的两个动态性能的指标。,注：控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图3-1所示：,3-2一阶系统的时间响应,一.一阶系统的数学模型,结构图和闭环极点分布图为：T表征系统惯性大小的重要参数。二.一阶系统的单位阶跃响应,曲线,例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，如果要求ts0.1秒。试求反馈系数应取多大？,解：系统的闭环传递函数,三.一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：,一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差ess=t-(t-T)=T从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。,3-3二阶系统分析,一.二阶系统的数学模型以前我们讲过的位置随动系统，就是一个典型的二阶系统。结构图可以简化为,得到二阶系统传递函数的标准形式即：式中，为系统的阻尼比wn为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）,闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当01时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为,式中：过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。当系统的输入信号为单位阶跃函数时，,则系统的输出量为拉氏反变换得：,响应曲线如图：起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出，当,(临界阻尼）时，,当，时，当，时，由此可见，当，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。当时，临界阻尼二阶系统，则则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。,2.欠阻尼情况当01,二阶系统的闭环特征根为Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。,当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为,曲线：,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部-wn的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部wd的大小。,角的定义,上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，振荡性越强，平稳性越差。当0时，系统的零阻尼响应为：等幅振荡曲线，振荡频率为wnwn称为无阻尼振荡频率。另外，若过大，如，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。1.上升时间tr由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取n=1。,当wn一定时，越小，tr越小；当一定时，wn越大，tr越小。2.峰值时间tp,对式两边求导，并令其=0，得：,代入得：,tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取n=1。于是当wn一定时，越小，tp越小；当一定时，wn越大，tp越小。3.超调量%,所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振荡频率wn的大小无关。,%与的关系曲线,增大，%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-2.5%。4.调节时间ts根据定义：不易求出ts，但可得出wnts与的关系曲线：,调节时间不连续的示意图,值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,当=0.68（5%误差带）或=0.76（2%误差带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。曲线的不连续性，是由于值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定ts。当a3a0,则系统稳定。,3.两种特殊情况情况1:劳思表中某一行的第一个元素为0,其它各元素不全为0,这时可以用任意小的正数代替某一行第一个为0的元素。然后继续劳思表计算并判断。例:,当很小时,则系统不稳定，并有两个正实部根。情况2:劳思表中第k行元素全为0,这说明系统的特征根或存在两个符号相异,绝对值相同的实根,或存在一对共轭纯虚根,或存在实部符号相异,虚部数值相同的共轭复根，或上述类型的根兼而有之。,此时系统必然是不稳定的。在这种情况下,可作如下处理。(1).用k-1行元素构成辅助方程.(2).将辅助方程为s求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳思表。例:系统的特征方程为：,列劳思表:列辅助方程,第一列符号改变一次,有一个正实部根,系统不稳定。,解辅助方程得：解得符号相异，绝对值相同的两个实根和一对纯虚根可见其中有一个正实根。,4.劳思判据的推广及应用(1).劳思表不但可判断系统的稳定性,而且能判断特征根的位置分布情况。(2).可以选择使系统稳定的调节器参数的数值。例:,闭环传递函数:,则特征方程整理得:必要条件:充分条件:,则系统才是稳定的,求得k的取值范围。(3).确定使系统稳定的特征参数的取值区间。例:已知系统的特征为:试判断使系统稳定的k值范围,如果要求特征值均位于s=-1垂线之左。问k值应如何调整?,解:特征方程化为:列劳思表:,所以使系统稳定的k值范围是若要求全部特征根在s=-1之左,则虚轴向左平移一个单位，令s=s1-1代入原特征方程,得:整理得:,列劳思表:第一列元素均大于0,则得:,3-5稳态误差的分析和计算,稳态性能是控制系统的又一重要特性,它表征了系统跟踪输入信号的准确度或抑制扰动信号的能力。而稳态误差的大小,是衡量系统性能的重要指标。一.误差和稳态误差1.定义:e(t)为系统误差,Cr(t)为希望输出,c(t)为实际输出。,稳态误差:系统的静态误差与系统的结构有关,还与输入信号的大小及形式有关。而系统的稳定性的只取决于系统的结构。,2.稳态误差的计算(1).拉氏变换的终值定理当输入信号为时,可用终值定理计算静态误差,谐波(正弦,余弦)输入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法a.求误差响应传递函数,b.误差响应的象函数c.误差响应的原函数d.求极值即为稳态误差。如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系统误差的求法如下：,为系统对输入信号的误差传递函数,为系统对扰动信号的误差传递函数。则:例:已知系统的结构图如下,试求系统在输入信号r(t)=t和扰动信号n(t)=-1(t)同时作用下系统的稳态误差ess,解:理想情况偏差信号E(S)0，则系统在输入信号作用下的希望输出为：,对于扰动信号N(s)而言,理想的情况就是扰动信号引起的输出为0,即希望系统的输出一点都不受扰动的影响。系统在输入信号和扰动信号作用下的实际输出为:,则R(s)和N(s)引起的系统误差为:,在本题中,首先要判断系统的稳定性,如果系统不稳定,不可能存在稳态误差。特征方程为:,即:所以系统稳定。根据推导出的公式:,系统的误差与系统的结构有关,还与外作用(输入信号,扰动)的大小及形式有关。,二.输入信号作用下系统稳态误差的分析只有输入信号作用时,系统的误差为:假设系统为单位反馈,则,开环传递函数,当=0,1,2分别称为0型系统,型系统,型系统(一般不大于2)则,将kp,kv,ka定义为稳态误差系数。阶跃输入下用kp表示为位置误差系数。速度输入下用kv表示为速度误差系数。加速度输入下用ka表示为加速度误差系数。,前提:单位反馈H(s)=1,提高系统的型别,增大系统的开环增益,都会提高系统的精度,但这样又会降低稳定性,必须综合考虑。例:某控制系统的结构图为试分别求出H(s)=1和H(s)=0.5时系统的稳态误差。,解:当H(s)=1时,系统的开环传递函数为则系统稳态误差当H(s)=0.5时,若上列在H(s)=1时,系统的允许误差为0.2,问开环增益k应等于多少?当时,上例的稳态误差又是多少?因为0型系统在速度输入和加速度输入下的稳态误差为无穷大,根据叠加原理,ess=,三.扰动作用下系统稳态误差的分析理想情况下,系统对于任意形式的扰动作用,其稳态误差应当为0,但实际上这是不可能的。如果输入信号R(s)=0,仅有扰动N(s)作用时,系统误差为:,扰动作用下的稳态误差,实质上就是扰动引起的稳态输出的负值,它与开环传递函数G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及扰动信号N(s)有关,还与扰动作用点的位置有关。,作用点不同,稳态误差也不同。在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节用（比例积分调节器）代替,提高扰动作用点前的积分环节个数和增益,可以减小或消除扰动引起的稳态误差,但同样会降低系统的稳定性。综上所述,为了减小输入信号引起的稳态误差，可以提高开环传递函数的积分环节个数和增益。,为了减小扰动作用引起的稳态误差，可以提高扰动作用点之前传递函数中积分环节的个数和增益。而这样都会降低系统的稳定性，而提高开环增益还会使系统动态性能变差，有些控制系统既要求有较高的稳态精度，又要求有良好的动态性能，利用上述方法难以兼顾。为此我们用下列方法减小和消除稳态误差。,四.减小和消除稳态误差的方法1.按干扰补偿.如果加于系统的干扰是能测量的,同时干扰对系统的影响是明确的,则可按干扰补偿的办法办法提高稳态精度。,在扰动作用下的输出为:完全消除扰动对系统输出的影响。增加补偿装置，使系统的稳态输出不受扰动的影响，也就是系统在扰动作用下的稳态误差为0