线性规划 凸集凸函数_第1页
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文档简介

.,线性规划,凸集和凸函数,.,凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面给出凸集和凸函数的一些基本知识。,.,例,.,(iv)超球是凸集。,(v)欧式空间是凸集，规定空集是凸集,.,凸集的性质,有限个凸集的交集仍然是凸集。设是凸集，则是凸集。,设是凸集，则是凸集。,凸集的和集仍然是凸集。设是凸集，则是凸集。,推论：设是凸集，则也是凸集，其中。,.,定义3极点（顶点）：设D是凸集,若D中的点x不能成为D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的极点。设D为凸集，XD,若X不能用X(1)D,X(2)D两点的一个凸组合表示为X=X(1)+(1-)X(2),其中01，则称X为D的一个极点。,定义2.凸组合：设X(1)，X(2)，X(k)是n维欧式空间中的k个点，若存在1,2,k满足0i1,(i=1,2,k),使X=1X(1)+2X(2)+kX(k)，则称X为X(1)，X(2)，X(k)的凸组合。,.,多边形的顶点是凸集的极点（顶点）。,圆周上的点都是凸集的极点（顶点）。,.,凹函数，严格凹函数,.,.,例：证明线性函数是上的凸函数。,同理可证线性函数也是上的凹函数。,.,凸函数的性质,.,性质4：f(x)是凸集D上的凹函数的充要条件是-f(x)是D上的凸函数。,.,定理1：设f(x)定义在凸集D上，令则,.,凸函数的判断,.,多元函数Taylor展开：,.,.,定理3（二阶条件）：设D是R中非空开凸集,是定义在D上的二次可微函数,则是凸函数的充要条件为对xD,0,即Hesse矩阵半正定。,n,例：证明函数是上的凸函数。,.,定义6:凸规划设D为凸集,是定义在D上的凸函数，则称规划问题为凸规划。,.,凸规划是非线性规划中的一种重要特殊情形，它具有很好的性质。,定理4：（1)凸规划的任意局部极小点就是整体极小点，且极小点集合是凸集。
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