矩阵的标准形

同济大学数学系2009-3-22,第3章矩阵的标准形,武汉理工大学理学院,3.1一元多项式,定义.设n是一个非负整数，表达式,2,3,则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x)。,若其同次项的系数都相等，即,定义.,4,多项式加法,为了方便起见，设,5,运算规律:,6,数乘多项式,运算规律:,7,多项式乘法,其中k次项的系数是,8,运算规律:,9,定理3.1.1（带余除法）设f(x)和g(x)是数域F上的多项式，,并且q(x)和r(x)是唯一的，,带余除法,且g(x)0，则必存在多项式q(x)和r(x)，使得,若r(x)=0，则称g(x)是f(x)的因式，f(x)是g(x)的倍式，,也称g(x)能整除f(x)，并记作g(x)|f(x)。,10,例3.1.1设f(x)和g(x)是有理数域F上的两个多项式,11,12,3.2因式分解定理,若h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，,则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公因式。,定义.,若h(x)既是f(x)的倍式，又是g(x)的倍式，,则称h(x)为f(x)与g(x)的一个公倍式。,则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式。,则称d(x)为f(x)和g(x)的一个最小公倍式。,，并且满足:,，并且满足:,14,不可约多项式,定义.设，若在数域F上只有平凡因式，,则称为域F上的不可约多项式，,否则，称为域F上的可约多项式。,注意：(1)一次多项式总是不可约多项式；,(2)多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。,例如，,15,因式分解唯一性定理,定理.数域F上任一个次数不小于1的多项式f(x)都可以,唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。,其唯一性是指，若有两个分解式,则s=t,并且经过对因式的适当排序后有,其中为非零常数。,16,称为标准分解式。,分解式,其中a是f(x)的首项系数，是首项系数为的,不可约多项式，而是正整数,17,复系数多项式的因式分解定理：,因式分解定理,次数不小于1的复系数多项式在复数域上,可唯一地分解成一次因式的乘积。,标准分解式为,其中是正整数，且,18,实系数多项式的因式分解定理：,次数不小于1的实系数多项式在实数域上,可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。,标准分解式为,其中和是正整数，且,的标准分解式。,例求,在实数域上的标准分解式:,在复数域上的标准分解式:,Problem：矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？Solution：理想情况下：A为对角形并非所有的矩阵都可以对角化Jordan标准形理论。Jordan标准形的应用:微分方程组的解,3.3矩阵的Jordan标准形,Jordan块:形如,的ni阶矩阵称为ni阶Jordan块。,分块对角阵,称为Jordan标准形,Jordan标准形,定理：任何n阶复方阵A都和一个Jordan标准形相似,即存在可逆阵P，和Jordan标准形,使得,Jordan标准形基本理论,求矩阵的Jordan标准形的方法(I),求矩阵的Jordan标准形的方法(I),(1),行列式因子(Determinatedivisor),(2),计算行列式因子的步骤：,Step1,Step2,Remark.,例,不变因子(Invariantdivisor),(3),Remark.,例,30,(3)定义：设A(l)的各阶不变因子在复数域的标准分解式,初等因子,称指数为A(l)的初等因子。,Remark.来自不同的不变因子的一次因式的方幂不能合并.,例,的初等因子:,初级因子与Jordan块的关系,对于ni阶的Jordan块，我们有：,初级因子与Jordan块的关系,(4),例,例设,求矩阵A的Jordan标准形。,初等因子组:,36,3.4l阵的标准形,定义.元素是l的多项式的矩阵称为l矩阵，记作A(l),例如,定义.设l矩阵A(l),B(l)满足,称A(l)为可逆的l矩阵，且B(l)为A(l)的逆。,显然，A(l)可逆,38,定义.l矩阵的初等变换,39,定义:若l矩阵A(l)经过若干次初等变换变为B(l)，,l矩阵的等价,则称A(l)与B(l)等价，记作,40,定理：设A(l)为mn阶l矩阵，则A(l)等价于分块对角阵,称为A(l)等价标准形，其中,并且首项系数为1，,l矩阵的等价标准形,例：求l矩阵的等价标准形,41,42,43,l矩阵的秩,定义：l矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数,显然，等价的l矩阵有相同的秩。,称为A(l)的秩。,事实上，l矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否,的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。,的秩为n。,行列式因子,定义：l矩阵A(l)的所有k阶子式的首1最大公因式称为A(l)的k阶行列式因子，记作Dk(l),定理：等价的l矩阵有相同的各阶行列式因子。,事实上，初等变换不会改变A(l)各阶子式的最大公因式,也就不会改变其各阶行列式因子。,46,例：求A(l)的等价标准形的各阶行列式因子。,依行列式因子的定义：,47,不变因子和初等因子,定义：设为l矩阵A(l)的k阶行列式因子，,定理：等价的l矩阵有相同的各阶不变因子。,称为A(l)的k阶不变因子。,定理：等价的l矩阵有相同的初等因子。,48,定理：l矩阵的等价标准形是唯一的，我们称之为Smith标准形.,注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(l)的,各阶不变因子。,求矩阵的Jordan标准形的方法（II）,50,例2设,求矩阵A的并求Jordan标准形,解：,54,求矩阵的Jordan标准形J，并求可逆阵P,使,例设,（P.61例3.1.6）,55,解：A的Jordan标准形为,56,57,58,定义：设A为n阶方阵，若多项式,满足,则称j(l)为A的零化多项式。,3.5矩阵的最小多项式,定理：(Hamilton-Cayley),设A为n阶方阵，则A的特征多项式,为A的零化多项式。,哈密顿（Hamilton，WilliamRowan)爱尔兰人哈密顿自幼聪明，被称为神童他3岁英语已读得非常好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语.；他即将学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头主要贡献：力学、数学、光学,Hamilton，1805-1865,定义：设A为n阶方阵，则称A的次数最低的