刚体的转动惯量-毕业论文

第12页(共12页)刚体转动惯量的讨论方法刚体转动惯量的讨论方法邵良(安庆师范大学物理与电气工程学院安徽安庆246011)导师：陈莉摘要：刚体转动惯量是围绕轴的转动惯量的测量，应用于刚体各种运动的动力学计算。通常研究均匀和不规则刚体的转动惯量。本文研究刚体转动惯量的定义、一般均匀刚体和复杂不规则刚体的计算方法，以及刚体转动惯量误差计算的分析。这样，人们在学习刚体的转动惯量的时候，就可以开阔心胸，并探索理解各种刚体转动惯量的创新方法。关键字：刚体的惯性矩、均匀刚体、不规则刚体、计算错误的分析引言惯性矩是刚体固定轴旋转的重要概念，不能偏离表征刚体旋转的定理。身体是大小和形状保持不变的物体，转动惯量是对刚体转动时惯性大小的测量，是表示刚体特性的物理量。刚体的惯性矩与刚体的大小、形状、质量、质量分布和轴位置有关。测量刚体的转动惯量对很多研究和设计工作很重要。I .定义刚体的惯性矩刚体转动惯量是刚体绕轴转动惯量的测量。值为j=mi * ri 2，其中mi表示刚体中粒子的质量，ri表示从该粒子到铰链的垂直距离。总数(或积分号)分布在整个刚体中。惯性矩仅确定刚体的形状、质量分布和轴位置，而不考虑刚体绕轴的旋转状态，如角速度大小。可以直接计算惯性矩的规则形式的齐次刚体。不规则刚体或异质刚体的惯性矩通常是实验测量的。惯性矩适用于刚体各种运动的动态计算。平行轴定理说明了刚体围绕彼此平行轴的转动惯量之间的关系：刚体绕一个轴的惯性矩等于平行于此轴且通过质心的轴的惯性矩加上该刚体的质量与两个轴之间距离的平方的乘积。和样式的第二个常量值大于0，因此通过质心的刚体的惯性矩是围绕该束的平行轴的惯性矩中最小的。二.转动惯量概念的推导及其物理意义首先，我们将查看围绕固定轴旋转的刚体的特征。将刚体视为粒子的集合，刚体中的每个粒子以恒定速度以角速度w旋转，每个粒子绕具有相同角速度w的固定轴以不同半径的圆周运动。所以我们可以用各种粒子的圆周运动代替刚体旋转，这一特征为我们研究刚体旋转提供了方便的条件。粒子(或物体)的转换动能为Ek=mv。如果有刚体围绕固定轴以角速度w旋转，该如何计算？根据质量为m的刚体的旋转特性，旋转时相应的线速度v1=wr1，旋转动能为：此公式称为惯性矩定义，它表示惯性矩I等于刚体中每个粒子的质量与该粒子到铰链的距离的平方之和。用公式(l)替换I(与粒子速度无关)，可以获得刚体旋转动能的数学表达式为：惯性矩的单位为：kg米2，符号为kgm2，尺寸为ML2。转动惯量的物理意义可以通过对旋转动能和转换动能的数学表达式进行比较来看。惯性矩I等于质量m，这种对应关系等于：动量mv等于动态力矩Iw，动量守恒定律 mv=常数等于动态力矩守恒定律10万 iw=常数，在对应关系比较中，数学表达式中的位置表示I和m具有相同的物理意义，因此惯性矩称为在物体旋转时表示惯性大小的尺度。两种物理意义相同，但质量m是常数，但惯性矩I不仅与质量相关，而且还由轴的位置、物体形状和质量分布决定。三.通常是均匀的刚体(a)一般均匀刚体转动惯量的讨论1.使用中空圆柱体计算z轴惯性矩的表达式，如图1中所示如果I=m(R12 R22)/2，则中空圆柱的惯性矩为：1) R1=R2时，薄圆柱(参见图2)的惯性矩I=mR2。2) R1=0时实体圆柱(请参阅图3)的惯性矩I=mR2/2。3)上面提到的中空圆柱体、薄壁圆柱体和实体圆柱体有：因为它们独立于z轴的惯性矩和厚度l圆盘(参见图4)的惯性矩I=m(R12 R22)/2，环(见图5)转动惯量I=mR2。圆盘(见图6)的惯性矩I=mR2/2。使用上述实体圆柱的I=mR2/2，您可以取得实际圆球(请参阅图7)的惯性矩。沿垂直于旋转轴(z轴)的方向将实际球体修剪为薄片。板材半径为r，厚度为dl，质量为DM。根据几何关系：R2=R2- (R- 1)2=2Rl- L2，使用上述实际球的I=2mR2/5，还可以获得空心球(参见图8)的惯性矩。空心球内径为R1，外径为R2，空密度实心球为R1半径，质量为m1；如果R2是半径，则质量为m2。原因球形薄壳(请参阅图9)的惯性矩在公式(3)中为R1=R2时得到I=2mR2/3当R1=0时，反之，可以得到实际球的I=2mR2/5。2.使用图10中的中空圆柱体计算z轴惯性矩的表达式已知中空圆柱体的z轴转动惯量，如图10所示以下是：1)当R1=R2时，取得薄圆柱(请参阅图11)的惯性矩I=(mR2/2) (ml2/12) (5)2)当R1=0时，取得实体圆柱的惯性矩(请参阅图12)I=(mR2/4) (ml2/12) (6)3) l=0时，可以根据样式(4)、(5)、(6)获得：圆盘(见图13)的惯性矩I=m (R12 R22)/4。环(见图14)的惯性矩I=mR2/2。光盘的惯性矩I=mR2/4(见图15)。4) R=0时，杆a(如图16所示)的惯性矩由样式(6)得到I=ml2/12。5)使用杆a的惯性矩I=ml2/12，可以获得杆b(参见图17)的惯性矩。对于杆b，如果将质量设定为m，长度设定为l，惯性矩设定为I，则将杆b连接成直线，然后杆aI1=2I=(2m)(2l)2/12因此I=ml/3实体圆柱体的惯性矩表达式可以推动中空圆柱体和薄壁圆柱体的惯性矩，也可以将中空圆柱体和中空圆柱体的惯性矩乘以薄壁圆柱体的惯性矩表达式。中空圆柱体和薄壁圆柱体的惯性矩方程也可以分别乘以中空球体和球壳的惯性矩。等一下，我不会在这里一一列举。这样看，可以看到，这些规则形状的均匀刚体的转动惯量之间的连接在形状上可以相互推导。使用时，其他刚体的惯性矩只需要记住几个公式。(2)巧妙计算齐次刚体的转动惯量1.证明和一般归纳将质量设定为m，并将通过质心c的轴的方向显示为j。物体对j轴的惯性矩为I=KML (1)其中k是常数，根据对象的形状和j的方向确定，l是对象的特征尺寸。现在，将一个物体除以n个小块，其形状和方向都与原始对象相同。质心的每个惯性矩都可以用表达式(1)表示，常数k相同，但m，l的值不同。物体的惯性矩可以表示为其中Ii是绕通过质心c的轴的I的惯性矩。平行轴定理已知其中mi是I的小块质量。ri是从c到I的小块质心的位置矢量，ai是I的小块对通过自身质心且平行于j的轴的惯性矩。如果每个小块大小是原始对象的一半，则可以表示为代码(1)替换(4)样式(2)更改如下因为有n个相同的小片段，mi=m/n，简化其中n=2d，d是对象的维。2.是示例1:如图1所示，质量为m的均匀薄矩形物体，边长度为a，b，C是矩形的质心，轴通过矩形质心，并平行于矩形b边。寻找物件绕旋转轴的惯性矩。因为矩形是二维的，所以n=2=4可以将原始矩形分割为等于原始对象大小一半的相似矩形部分示例23360如图2所示，长度为m，宽度为宽，高度为a，b，h，长方体中心作为坐标原点，轴x，y，z分别与三个角度平行。寻找三个轴线的惯性矩。因为方块是三维的，所以首先寻找方块相对于x轴线的惯性矩。如果n=2=8，则方块的8个尺寸为原始物件大小的一半，类似方块的小图块，每个小方块的小图块，方块相对于x轴的惯性矩为同样，方块的y轴线和z轴线的惯性矩为如果A=b=h=l，则方块变更为立方体，并且立方体绕x、y、z轴线的惯性矩全部为I=ml/6。如示例：图3中所示，质量为m的薄三角形对象，边的长度分别为a，b C，C，底边的高AH长度为ha，3边的中线为AD，BE，GF在点C相交，C是三角形质心，轴MN通过质心，并平行于a边。寻找物件相对于铰链MN的惯性矩。因为薄三角形是二维的，所以可以将原始三角形分成四个尺寸为原始对象大小的一半的相似三角形块，但是位于中间的三角形块的质心与原始对象的质心匹配。也就是说，ri=0四。复杂不规则刚体测试原理和方法首先使系统处于匀速旋转状态，然后突然切断电源，使电动机电枢短路，系统将从匀速旋转状态逐步转换到静止状态，转换时间与转动惯量相关，因此，为了得到这种关系，可以列出运动方程W系统的角速度如果方程式的初始条件为： t=0，则w(r)=M/RM马达扭矩R系统阻尼系数方程(1)解为：系统的角速度为初始速度w0=M/R时初始速度的0。368倍，即如果t=I/R，则w=0。减少到368w0。当然，也是可取的阻尼时间馈送(3)、阻尼大时间馈送(2)。这导致w从w0到0。减速到368w0所需的时间和系统的制动系数r求出系统的转动惯量。同样，如果添加惯性矩而不要求r，并测量其时间常数，系统惯性矩将派生为：我们可以通过添加定型体来正确计算，那么如何正确测量时间是问题的关键。大多数情况下，使用人工秒表计时，然后平均，误差就会更大。本文利用PS-2129的3倍16位定时/计数器进行计数，完全不需要人工干预，从而避免了在时间拟合过程中人为因素的错误。V.刚体转动惯量误差计算分析惯性矩是物理学中的一个重要概念，它是描述旋转中刚体惯性大小的物理量1，2。根据定义j=(miri)，惯性矩等于刚体中每个粒子的质量乘以每个粒子到铰链距离的平方。如果刚体中的粒子连续分布，则可以通过积分惯性矩来计算。即j=874747r2dm。公式看起来很简单，但在使用积分求解转动惯量时，积分方法的误差常常导致错误的结果，以等腰三角形板为例，具体分析了计算误差的原因。1.两种不同的积分方法例如：等腰三角形座标ABC，高度h，底部长度a寻找基准(x轴线)的惯性矩，并将座标质量设定为m，将面密度设定为，如图1中所示。解决方案1: y坐标中宽度与y轴平行的细条形，x轴的惯性矩为：DJ=y2dm解决方案2:从x坐标平行于宽度dx的y轴的细竖条，其关于x轴的惯性矩为dJ=1/3ydm，如图2所示您知道特定刚体对特定轴的惯性矩是常量。这是一个错误的结果，从转动惯量的定义表达式出发，使用两种不同的积分方法得出两种不同的结果。2.错误积分法分析在图2中，ABC是关于y轴对称的，根据叠加原理，求出AOC关于x轴的转动惯量时，转动惯量是关于x轴的两倍。因为在第二个解决方案中，您将看到Jxx=3/4mh无效。解决方案2的想法正确，产品函数的形式也正确。那么，什么是错误的呢？从高数值的知识中可以看出，积分值不仅与积分函数形式有关，而且与积分区间有关。图形中，x的积分区间从-a/2到a/2没有误差。此时，我们还必须考虑他的积分函数，积分区间和物理意义。F(x)为双函数时不是双函数，所以但是根据其物理意义和叠加原理，均质等腰三角形薄板的x轴转动惯量的积分表示是正确的，因此解决方案2的结果必然是错误的。其次，可以在图2中看到函数y(x)在范围-a/2，a/2内是不连续函数，不连续函数的积分被分割以获得正确的结果。也就是说：通过以上分析，可以看出，在定义表达式中使用直接刚体转动惯量的积分方法时，积分表达式和积分区间同时考虑，不连续函数的分割积分也必须考虑。这是使用积分解决转动惯量时需要注意的问题，但更重要的是考虑其物理意义，这有助于学生掌握转动惯量的解法，教老师教学。结论本文从刚体的转动惯量定义