08 高一数学培优进度 反三角函数学生

1 / 7 第八讲 反三角函数反三角函数 【知识梳理】【知识梳理】 名称 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 定义 y=sinx x- 2 , 2 的 反函数， 叫做反正 弦 函 数 ， 记 作 x=arsiny y=cosx(x0, 的反函数，叫做反 余弦函数，记作 x=arccosy y=tanx x(- 2 , 2 ) 的反函数， 叫做反正 切 函 数 ， 记 作 x=arctany y=cotx x(0, )的反 函数，叫做反余 切 函 数 ， 记 作 x=arccoty 理解 arcsinx 表示属 于- 2 , 2 且正弦值等于 x 的角 arccosx 表示属于 0， ，且余弦 值等于 x 的角 arctanx 表示属于 (- 2 , 2 )，且正切 值等于 x 的角 arccotx 表示属 于(0， )且余切 值等于 x 的角 图像 性 质 定义域 -1，1 -1，1 (-，+) (-，+) 值域 - 2 ， 2 0， (- 2 ， 2 ) (0， ) 单调性 在-1，1上是增 函数 在-1，1上是减 函数 在(-， +)上是增 数 在(-，+)上 是减函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arc sinx 奇函数 arccos(-x)= -arccosx 非奇非偶函数 arctan(-x)=-arcta nx 奇函数 arccot(-x)= -arcotgx 非奇非偶函数 周期性 都不是周期函数 恒等式 sin(arcsinx)=x (x-1，1) arcsin(sinx)=x (x- 2 , 2 ) cos(arccosx)=x (x -1,1 ) arccos(cosx)=x (x0, ) tan(arctanx) (xR) arctan(tanx)=x （x(- 2 , 2 )） cot(arcotgx)=x (xR) arccot(cotx)=x (x(0, ) 互余恒等式 arcsinx+arccosx= 2 (x-1,1) arctanx+arccotx= 2 (XR) 2 / 7 【典型例题分析】【典型例题分析】 例例 1 1、在下列式子中：(1)arcsin;(2)arcsin;(3)arcsin( 3);(4)arcsin(sin3);(5)sin(arcsin3) 63 有意 义的是哪几个？并简述理由。 变式练习：变式练习： 3 (1)arccos;(2)arccos;(3)arccos( 2);(4)arccos(cos6);(5)cos(arccos ) 434 哪些有意义？ 为什么？ 3 (1)arctan;(2)arctan;(3)arctan( 2);(4)arctan(cos6);(5)cos(arctan) 434 哪些有意义、为什么？ 例例 2 2、求值 31133 (1)arcsin;(2)arcsin1;(3)arcsin;(4)arccos;(5)arccos;(6)arctan1 ;(7)arctan. 22223 3 / 7 例例 3 3、用反三角函数表示下列式子中的 x. 1 (1)sin,0,; 52 1 (2)sin,; 52 43 (3)cos,; 52 58 (4)tan()5, 633 xx xx xx xx 注意用反三角函数表示角的步骤：先利用诱导公式把角转换到相应的反三角函数的定义域内，再用反 三角函数表示。 变式练习：变式练习：用反三角函数表示下列式子中的 x. （1） 33 sin() 42 xx （2）tan3,0,2 xx 4 / 7 例例 4、求下列函数的反函数。 (1)2sin(0); 23 1 (2)arccos(21)(0); 2 (3)2arctan . x yx yxx yx 例例 5、求下列函数的定义域和值域 2 2 1 (1)arcsin(21); 2 (2)arcsin(3); 6 (3)2arccos(1); (4)arctan(2 ). yx yx yxx yxx 5 / 7 例例 6 6、满足 arccos(1-x)arccosx 的 x 的取值范围是( ) A.-1,- 2 1 B.- 2 1 ,0 C.0, 2 1 D. 2 1 ,1 例例 7 7、 已知 cos2 = 25 7 , (0, 2 ),sin =- 13 5 , ( , 2 3 ) 求 + (用反三角函数表示). 例例 8 8、记函数 y= x 1 的图像为 l1，y=arctanx 的图像为 l2，那么 l1和 l2的交点个数是( ) A.无穷多个 B.2 个 C.1 个 D.0 【课堂总结】【课堂总结】 注意本节内容在理解与应用中常见的错误是： 1、不清楚反三角函数存在的条件，导致解题错误； 2、不在规定定义域内运用反三角函数的性质。 【课后练习】【课后练习】 1、函数2arcsin(3)yx的定义域为 ，值域为 。 2、 13 arcsinarcsin() 22 。 3、若 1 sin, 32 xx ，则x 。 4、 3 tan(arccosarctan 3) 2 。 5、设 4 ,arccos(cos ) 3 则 。 6 / 7 6、下列各式中正确的是（ ） A、 55 arcsin() 66 B、sin(arcsin) 33 C、 1 arcsin(sin) 62 D、tan(arcsin0)0 7、若sin(arccos )xx，则 x 的取值范围是（ ） A、, 2 2 B、,0 2 C、0,1 D、-1,1 8、在ABC 中，若 1 cos,A 3 A 则 为（ ） A、 1 arccos 3 B、 1 arccos 3 C、 1 arccos 3 D、 1 arccos 3 或 1 arccos 3 9、arccoscos() 4 的值等于（ ） A、 4 B、 4 C、 3 4 D、 3 4 10、若arcsin(sin4)，则等于（ ） A、4 B、-4 C、4 D、4 11、在区间 3 ,1 2 上与函数 y=x 的图像相同的函数是： （ ） A、arccos(cos )yx B、arcsin(sin )yx C、sin(arcsin )x D、cos(arccos )yx 12、求下列函数的定义域和值域。 （1）arcsin 33 x y （2） 2 arccos(1)yxx （3）arctan 4 yx 7 / 7 13、求