12 几何证明1教师2015秋季 初二数学培优经典进度一

1 / 9 第十二讲 几何证明（1） 一、填空题 1. 定理“等腰三角形底边上的高平分底边”的逆命题是_，这个逆命题 是_命题 （填“真”或“假”） 2. 命题“一个三角形的两个内角的和大于90，这个三角形是锐角三角形”的逆命题是 _，这个命题是_命题 （填“真”或“假”） 3. 已知线段AB，若CABCBA，则点 C 的轨迹为_ 4. 已知，点 A、B 分别在MON的边 OM、ON 上，且OAOB，点 C 在MON的内部，OAC和 OBC的周长相等，则点 C 的轨迹为_ 5. 已知，如图，等腰ABC中，ABAC，DE 是 AB 的中垂线，DBCDBA，则A _ 6. 已知，如图，AP、BP 分别平分DBA和CBA，PE、PF 分别垂直于 AD、BC，如果1cmAE ， =3cmBF，2cmEP ，那么 BPA S_ 2 cm 7. 已知，如图，在tRABC中，90CDE 是 AB 的中垂线，若1:21:2 ，则B _ 8. 已知，如图，在ABC中，AD 是ABC的角平分线，DEAB于点 E，DFAC于点 F，若 2 11cm ABC S，5cmAC ，6cmAB ，那么DF _cm 第5题 D E A BC 第6题 C D F E P B A 第7题 21 E DC B A 第8题 E F B C A 2 / 9 二、作图题 9. 已知，如图，ABC，求作一点 P，使得点 P 到点 A、点 B 距离相等，且 PA 平分BAC 10. 已知定点 A、B 以及两线段 a、b，求作一点 P，使得点 P 到点 A 距离等于 a，到点 B 距离等于 b 三、证明题 11. 已知，如图，在tRABC中，90ACB，AD 是BAC的平分线，DEAB于点 E，EFAC交 AC 于点 F求证 CE 平分DEF 12. 已知，如图，在ABC中，ABAC，AB 的垂直平分线 MN 分别与直线 AC、AB 交于点 E、D， 50AED，求EBC的大小 第9题 B C A 第11题 F E D B C A 第12题 N M E D B A C 第10题 b a AB 3 / 9 13. 已知，如图，点 N 在ABC的平分线上，NDAB于点 D，NEBC于点 E，A、C 分别在 BD、 BE 上， 且ADCE， 联结 AC，NMAC交 BC 于点 M 求证：MAMC 14. 已知，如图，在ABC中，90C，ACBC，点 D 在 BC 上，ACCDAB求证：AD 在 BAC的平分线上 15. 已知，如图，ABC中，90BAC，ABAC，点D在BC边上，DEBC交AB于点E，联 结CE点 F 是 CE 的中点，联结 AF、DF求证：AFDF F D A B C E 第13题 M G CE D B N A 第14题 D A B C 4 / 9 16. 已知，如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线 l 上，且过 A、B 两点分别作直线 l 的垂 线，垂足分别为 D、E，求证：ADBEDE 17. 已知，如图，AD 是 BC 边上的高，2ABACAD，DEAB于点E，DFAC于点 F，求证： 1 2 DEDFBC 18. 已知，如图，CM 是Rt ABC斜边 AB 上的中线，点 D 在边 AC 上，且CDBM，直线DM交 CB 的延长线于点 E求证：2AE l F E D B A C FE A DBC D M EC A B 5 / 9 19. 已知，如图，在Rt ABC中，90ACB，点 M 是 AB 边的中点，CHAB于点 H，CD平分 ACB （1）求证：DCEMCE； （2）过点 M 作 AB 的垂线交 CD 的延长线于点 E求证：CMEM； （3）猜想：AEB是什么三角形？证明你的猜想 答案 1. 如果三角形一边上的高平分这条边，那么这个三角形为等腰三角形真命题 2. 如果三角形是锐角三角形，那么这个三角形有两个内角和大于90真命题 3. AB的垂直平分线（除AB的中点外） 4. MON的平分线（除点O外） 5. 36 6. 4 7. 36 8. 2 9. 略 10. 略 11. AD是BAC的平分线，且DEAB，DCAC, DCDE，DCEDEC， EFCD，DCEFEC，即CE平分DEF 12. ABAC，ABCC，EABABCC，2EABABC ， EDAB，90DEAEAB，50AED，40EAB，20ABC， ED垂直平分AB，40EBAEAB，60EBCEBAABC D H E M B A C 6 / 9 13. 联结AN、NC BN平分DBC，且DNAD、MEBC，DNDE， 在ADE与CNE中， DNNE NDANEC ADCN ， ADECEN ，ANNC，NMAC，AGGC，MAMC 14. 延长AC至点E，使得CECD， ABACCDACCEAE， ABCAED，90C且ACBC，45ABC， 90DCE且DCCE，45CED，则DBEDEB，BDDE， 在ACD与AED中， ABAE ADAD BDED ，ACDAED ，BADEAD， 即AD为BAC平分线 （注意不可用SSA证明另，此题也可在AB上截取点P，使得APAC ） 15. 90BAC且ABAC，45BACB ，又DEBC90EDC， 在Rt EDC中，点F是CE的中点，DFFCEF，FCDFDC， 2EFDFDCFCDFCD ，同理，在Rt AEC中，2AFEACF ， 2290AFDEFDAFEFCDACFACB ，即AFDF 16. ACBC且ADl，90ACDECBACDCAD，ECBCAD， BEl，90CEB，在CAD与BEC中， ECBCAD ACBC ADCCEB ，CADBEC ， ADCE，CDBE，ADBECECDDE，即证 7 / 9 17. ABAC，BC ，120BAC，30BC ， DEAB，DFAC，BDE、CDF都是直角三角形， 1 2 DEBD， 1 2 DFCD， 1111 2222 DEDFBDCDBDCDBC，即证 18. M是tRABC斜边AB的中点，AMBM，CDAM， CM是tRABC的中线，CDCMBM，则CDM是等腰三角形， MCBMBC，CDMCMD， CDMAAMD ，CMDMCBEBMEEE ， 即AAMDBMEEE ，AMDBME，2AE 19. （1）CD平分ACB，ACDBCD，又点M是AB的中点， CMAMBM，ACMCAM，CH是AB边上的高， 又90CAMCBACBABCH，CAMBCH，ACMBCH MCDHCD，即证 （2）CHAB且EMAB，CHEM，HCDMED， 由（1）可知MCDHCD，MEDMCD，CMME，即证 （3）等腰直角三角形EMAB且点M是AB的中点，AEBE， 又CMME，AMMEMB，45MAEMEA，45MEBMEB， 454590AEB，AEB是等腰直角三角形 8 / 9 1. 直角三角形中，若斜边上的中线长为 8，则斜边长为_ 2. 在ABC中，:1:2:3ABC，则:BC AB _ 3. 已知，在Rt ABC中，90C，30BAC，10BC ，那么AB _ 4. 在直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的 3 倍，则较小锐角的的度数为_ 5. 在直角三角形中，如果一个锐角为30，斜边与较小直角边的和为 6，则较小直角边的长为 _ 6. CM是Rt ABC斜边AB上的中线，则这个图形中的等腰三角形是_ 7. 等腰直角三角形底边上的中线长为 8，那么这个三角形的面积为_ 8. 到直角三角形三个顶点距离相等的点在_ 9. 若 等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 高 等 于 其 腰 长 的 一 半 ， 那 么 这 个 等 腰 三 角 形 顶 角 的 度 数 是 _ 10. 已知：ABC中，90C，60A ，将此三角形沿斜边翻折得到 1 tRABC，若14cmBC ，则 1 CC _ 11. 在等腰三角形、直角三角形、长方形、平行四边形中，能用两个全等三角形拼合出的图形的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12. 以下命题中错误的是（ ） A一个三角形一定存在两个锐角 B一个三角形至少有一条高在形内 C等腰三角形中，至少有两条高相等 D直角三角形只有一条高 13. 下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（ ） A有两个内角的和为90 B两边平方的差等于第三边的平方 C一条边上的中线的长等于第三边的平方 D一条边上的高的长等于这边长的一半 9 / 9 14. 以下说法正确的是（ ） A一条直