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第十四讲 二次函数的最值 【二次函数的最值】对于二次函数，取最值的情况如下：1. 若自变量为任意实数，则有两种情况：（1）当，时，有 ；（2）当，时，有 。2. 若自变量的取值范围为时，则要结合二次函数的对称轴与给定范围的三种位置来分析：（1）对于当时，因对称轴的左侧是随的增大而减小的，即单调递减，所以最大值为，最小值为；当时，因的取值范围包含抛物线的对称轴，所以最小值为，而最大值为的较大者（离对称轴越远函数值越大）；当时，因对称轴的右侧是随的增大而增大的。即单调递增，所以最大值为，最小值为。 （2）对于当时，对称轴的左侧是单调递增的，所以最大值为，最小值为；当时，最大值为，最小值为的较小者（离对称轴越远函数值越小）；当时，对称轴的右侧是单调递减的，所以最大值为，最小值为。1. 求下列函数的最值（1） （2）（3） （4）答案：（1），无最大值；（2），无最小值；（3），无最小值；（4），无最大值。2. 求下列函数的最大值和最小值（1） （2）（3） （4）答案：（1）由于对称轴在区间内，且该抛物线开口向上，所以，又由于则。（2）（3）对称轴为在内部，且该抛物线开口向上，所以。 （4）。区间在对称轴右侧，且该抛物线开口向下，所以图像单调递减，即。3. 求二次函数的最大值和最小值，其中的取值范围分别是：（1）全体实数；（2）；（3）；（4）4. 已知，求的最大值和最小值。5. 设，求函数的最值。6. 已知二次函数图像的对称轴是，与x 轴的一个交点是（1，0）且有最小值16，求函数的解析式。解：由题意，得抛物线的顶点为（1，16），则设抛物线解析式： 把（1， 0）代入上式，得所以函数解析式为 .7. 已知二次函数在时有最大值5，二次函数的最小值为-2。又。求及的表达式。【含参数问题】8. 已知二次函数，当时，有最大值4，且，求9. 若二次函数的最小值是2，求的值。答案：a=4。10. 已知函数的最大值小于，求的取值范围。11. 若函数在区间上的最小值为2，最大值为，试讨论的取值情况.解：由题意知：原函数图像开口向下，且最大值在顶点取到，且y=2时x=3，由图像可知，的取值应该在0到3之间并包括端点，即。 12. 已知在区间0，3上有最小值-2，求的值。【作业1】 求函数的最大值和最小值。答案：由于区间在对称轴右侧，且该抛物线开口向上，
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