【助力高考】2019年高考数学专题复习第30讲《平面向量的综合应用》(含详细答案和教师用书)

学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第五章 平面向量 第30讲 平面向量的综合应用 核心知识回顾知识点一、向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理abab ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0 ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a| ，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题知识点二、向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体知识点三、平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)知识点四、向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题名师提醒1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行高考典例剖析考点一、向量在平面几何中的应用例1：在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.解：在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.方法技巧向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心2已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的_3在ABC中，已知向量与满足0，且，则ABC为()A等边三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D三边均不相等的三角形4(2017湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则等于()A. BC. D考点二、向量在解析几何中的应用例2：已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_解：(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.方法技巧向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法跟踪训练5若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_6在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，若点M在圆C上，则实数k_.7(2017安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点A在椭圆1上，点P满足(1)(R)(O是坐标原点)，且72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_考点三、向量的其他应用命题点向量在不等式中的应用例3： 已知O是坐标原点，点A(1,2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A1,0 B0,1C1,3 D1,4解：作出点M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，设z，因为A(1,2)，M(x，y)，所以zx2y，即yxz.平移直线yx，由图象可知，当直线yxz经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线yxz经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1z4，即14.故选D。命题点向量在解三角形中的应用例4： 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a15b12c0，则ABC最小角的正弦值等于()A. B.C. D.解：20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，与不共线，解得ABC最小角为角A，cos A，sin A，故选C.命题点向量在物理中的应用例5： 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2 B2C2 D6解：如题图所示，由已知得F1F2F30，则F3(F1F2)，即FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.故|F3|2.方法技巧思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化跟踪训练8函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且0，则函数f(x)的最小正周期是_9已知x，y满足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，则实数a的值是_感悟高考分析课程标准和近五年的高考试题，可以发现高考命题主要集中在：主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题，通过近五年考题的规律，可以预测2019年高考试题中，可能会出现平面向量与函数的综合题目。知能达标演练一、选择题1.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B.2 C.3 D.42.在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc3.(2017温州八校检测)设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A.2 B.1 C.1 D.24.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab5.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，且|a|1，|b|1，|c|3，则|abc|等于()A.2 B.5 C.2或5 D.或6.已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则等于()A.a2 B.a2 C.a2 D.a27(2018株州模拟)在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形8已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线9已知向量m(1，cos )，n(sin ，2)，且mn，则sin 26cos2的值为()A. B2C2 D210(2017长春质量监测)在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且，则等于()A. B.C. D.11已知F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则的最大值、最小值分别为()A9,7 B8,7C9,8 D17,812(2018四川凉山州一诊)若直线axy0(a0)与函数f(x)的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足，则mn等于()A1 B2C3 D413已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足， (0，)，则()A动点P的轨迹一定通过ABC的重心B动点P的轨迹一定通过ABC的内心C动点P的轨迹一定通过ABC的外心D动点P的轨迹一定通过ABC的垂心14(2018大庆一模)已知共面向量a，b，c满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个确定的向量b，记|bta|(tR)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为()A. B2C4 D615(2017全国)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2 C. D2二、填空题16在菱形ABCD中，若AC4，则_.17已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是_18已知O为ABC内一点，且20，则AOC与ABC的面积之比是_19如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值为_20已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos )2(y5sin )21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_三、解答题21.在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR).(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值.22已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程23(2018酒泉质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值详细参考答案把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第五章 平面向量 第30讲 平面向量的综合应用 核心知识回顾知识点一、向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题知识点二、向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体知识点三、平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)知识点四、向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题高考典例剖析考点一、向量在平面几何中的应用跟踪训练1答案：C解：由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心2答案：内心解：由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心3答案：A解：，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为BAC的平分线因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以cosBAC，又0BAC0.所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|.即b，根据余弦定理及基本不等式，得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，故ABC的面积Sacsin B，即ABC的面积的最大值为.教师用书把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第五章 平面向量 第30讲 平面向量的综合应用 核心知识回顾知识点一、向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题知识点二、向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体知识点三、平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)知识点四、向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题名师提醒1若G是ABC的重心，则0.2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行高考典例剖析考点一、向量在平面几何中的应用例1：在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则AB_.解：在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则，又，()22|2|cos 60|21|21.|0，又|0，|.方法技巧向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练1已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心 B外心 C重心 D垂心答案：C解：由原等式，得()，