培优专题(二) 以正方形为背景的证明与计算

12014济宁改编如图1，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF.求证：BFDF.,培优专题(二)以正方形为背景的证明与计算,图1,证明：四边形ABCD和AEFG都是正方形，ABAD，AEAGEFFG，BEFDGF90，BEABAE，DGADAG，BEDG，BEFDGF.BFDF.,22014徐州已知：如图2，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE，AF.,图2,(1)求证：ECF90；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，ABC应该满足条件：_，就能使矩形AECF变为正方形并证明,ACB为直角,(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下：MNBC，OECBCE，OFCGCF，又OCEBCE，OCFGCF，OCEOEC，OCFOFC，EOCO，FOCO，OEOF；又AOCO，四边形AECF是平行四边形，ECF90，四边形AECF是矩形；,(3)解：当点O运动到AC的中点时，且ABC满足ACB为直角时，四边形AECF是正方形证明：由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MNBC，当ACB90，则AOE90，ACEF，矩形AECF是正方形,32014天水如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，ADECDF.(1)求证：AECF；(2)连接DB交EF于点O，延长OB至点G，使OGOD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由,图3,(1)证明：四边形ABCD是正方形，ADCD，AC90，ADECDF，RtADERtCDF，AECF；(2)解：四边形DEGF是菱形理由：四边形ABCD是正方形，ABDDBC45，ABBC，AECF，,ABAEBCCF，即BEBF，易得BOEBOF，OEOF，ODOG，四边形DEGF是平行四边形，由(1)知，RtADERtCDF，DEDF，平行四边形DEGF是菱形,4如图4，在四边形ABCD中，ABBC，对角线BD平分ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M，N.(1)求证：ADBCDB；(2)若ADC90，求证：四边形MPND是正方形证明：(1)BD平分ABC，ABDCBD.又BABC，BDBD，ABDCBD，ADBCDB；,图4,(2)PMAD，PNCD，PMDPND90.又ADC90，四边形MPND是矩形ADBCDB，PMAD，PNCD，PMPN.矩形MPND是正方形,5如图5(1)，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AFBE，AF与BE交于点G.,图5,(1)(2),(1)求证：AFBE；(2)如图5(2)，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MPNQ.MP与NQ是否相等？并说明理由(1)证明：四边形ABCD是正方形，BAAD，BADD90，在RtADF中，FADAFD90.AFBE，AGE90，在RtAGE中，FADAEG90，AFDAEG，DAFABE，AFBE；,(2)解：MPNQ，理由：过点A作AFMP交CD于点F，过点B作BENQ交AD于点E，得到BEQN和AFPM，AFMP，BENQ.AFMP，BENQ，MPNQ，AFBE，由(1)得AFBE，MPNQ.,62014鄂州在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图6放置，连接DE，BH相交于点M.求证：(1)BHDE；(2)BHDE.,图6,证明：(1)四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，CBCD，CECH，BCDECH90.BCH90DCH，DCE90DCH，BCHDCE.在BCH和DCE中，CBCD，BCHDCE，CHCE，BCHDCE(SAS)，BHDE；,第6题答图,(2)如答图，连接BD.四边形ABCD是正方形，DBCBDC90.BCHDCE，CBHCDE.DBMBDMDBMCDEBDCDBMCBHBDCDBCBDC90.BMD180(DBMBDM)1809090.BHDE.,72014青岛已知：如图7，ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：AODEOC；(2)连接AC，DE，当BAEB_时，四边形ACED是正方形，请说明理由,图7,45,(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC.ADOOCE，DAOOEC.又OCOD，AODEOC；(2)解：当BAEB45时，四边形ACED是正方形AODEOC，OAOE.又OC