苏科版八年级上《第3章勾股定理》单元测试含答案解析

第 1页（共 15页） 第 3 章 勾股定理 一、选择题 1下列各组数为勾股数的是（ ） A 6， 12， 13 B 3， 4， 7 C 4， 8， 15， 17 2把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A 2倍 B 4倍 C 3倍 D 5倍 3下列说法中，不正确的是（ ） A三个角的度数之比为 1： 3： 4的三角形是直角三角形 B三个角的度数之比为 3： 4： 5的三角形是直角三角形 C三边长度之比为 3： 4： 5的三角形是直角三角形 D三边长度之比为 5： 12： 13的三角形是直角三角 形 4三角形的三边长为 a， b， c，且满足（ a+b） 2=这个三角形是（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 5如图在直角 0 ， ， ， 足为 D，交边 ，连接 周长为（ ） A 16 B 15 C 14 D 13 6 连接这两条直角边中点的线段长为（ ） A 10 3 4 5、填空题 7若 a2=b2+ 三角形且 =90 8在 知两边长为 6和 8，则第三边长为 9已知 x、 |4|+（ 16） 2=0，如果以 x、 么这个直角三角形的斜边长为 第 2页（共 15页） 10在 三条边的长度分别为 9， 12、 15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 11如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边长为7方形 A， B， 1014正方形 12如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为 6 厘米，高为 8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米 三、解答题 13某直角三角形的周长为 30，且一条直角边长为 5，求另一条直角边的长 14如图 1，是一个长方体盒子，长 ，宽 ， 高 （ 1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 ，求它所行走的最短路线的长 （ 2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？ 解：（ 1）蚂蚁从点 有三种可能，展开成平面图形如图 2所示，由勾股定理计算出 、 、 ，比较后得 即最短路线的长是 （ 2）如图 3， 2+22+12=21 第 3页（共 15页） 15一个三角形三条边的比为 5： 12： 13，且周长为 60它的面积 16如图，直线 a、 b、 c，其中 a、 和 11求正方形 17如图，在 C=25，点 4， ，试问 分 什么？ 18某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、 8m现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8扩建后的等腰三角形 花圃的周长 第 4页（共 15页） 第 3 章 勾股定理 参考答案与试题解析 一、选择题 1下列各组数为勾股数的是（ ） A 6， 12， 13 B 3， 4， 7 C 4， 8， 15， 17 【考点】勾股数 【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可 【解答】解： A、 62+122 132，故错误； B、 32+42 72，故错误； C、 错误； D、 82+152=172，故正确 故选 D 【点评】本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断 2把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的（ ） A 2倍 B 4倍 C 3倍 D 5倍 【考点】勾股定理 【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的 2倍 【解答】解：设一直角三角形直角边为 a、 b，斜边为 c则 a2+b2= 另一直角三角形直角边为 2a、 2b， 则根据勾股定理知斜边为 =2c 即直角三角形两直角边同时扩大到原来的 2倍，则斜边扩大到原来的 2倍 故选 A 【点评】熟练运用勾股定理对式子进行变形 第 5页（共 15页） 3下列说法中，不正确的是（ ） A三个角的度数之比为 1： 3： 4的三角形是直角三角形 B三个角的度数之比为 3： 4： 5的三角形是直角三角形 C三边长度之比为 3： 4： 5的三角形是直角三角形 D三边长度之比为 5： 12： 13的三角形是直角三角形 【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理 【分析 】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，选择正确答案 【解答】解： A、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为 ， ， 90 ，所以是直角三角形； B、根据三角形的内角和公式求得，各角分别为 45 ， 60 ， 75 ，所以不是直角三角形； C、两边的平方和等于第三边的平方，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形； D、两边的平方和等于第三边的平，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形 故选 B 【点评】此题考查了利用三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理来判定直角三角形的方法解题的关键是对知识熟练运用 4三角形的三边长为 a， b， c，且满足（ a+b） 2=这个三角形是（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】对等式进行整理，再判断其形状 【解答】解：化简（ a+b） 2=， a2+b2= 故选： C 【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定 5如图在直角 0 ， ， ， 垂足为 D，交边 ，连接 周长为（ ） 第 6页（共 15页） A 16 B 15 C 14 D 13 【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理 【分析】首先连接 在直角 0 ， ， ，利用勾股定理即可求得 由 B 边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得 E，继而可得 C 【解答】解：连接 在 0 ， ， ， =10， E， C+E+C=C=10+6=16 故选 A 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用 6 连接这两条直角边中 点的线段长为（ ） A 10 3 4 5考点】勾股定理；三角形中位线定理 【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答 【解答】解： 斜边 = =10 连接这两条直角边中点的线段长为 10=5 故选 D 第 7页（共 15页） 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三 边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键 二、填空题 7若 a2=b2+ 直角 三角形且 A =90 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】直接根据勾股定理的逆定理进行解答即可 【解答】解： a2=b2+ A=90 故答案为：直角， A 【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长 a， b， a2+b2=么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 8在 知 两边长为 6和 8，则第三边长为 10或 2 【考点】勾股定理 【分析】由于斜边没有明确的规定，所以要分情况求解 【解答】解：当 8是斜边时，第三边是 = =2 ； 当 8是直角边时，第三边是 10 【点评】此类题一定要注意两种情况，熟练运用勾股定理 9已知 x、 |4|+（ 16） 2=0，如果以 x、 么这个直角三角形的斜边长为 2 【考点】勾股定理；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 【分析】根据非负数的性质列式求出 利用勾股定理列式计算即可得解 【解答】解：由题意得， 4=0， 16=0， 所以， ， 6， 由勾股定理得，斜边的平方 =x2+16=20， 所以，斜边 = =2 故答案为： 2 第 8页（共 15页） 【点评】本题考查了勾股定理，非负数的性质，几个非负数的和为 0时，这几个非负数都为 0列出方程是解题的关键 10在 三条边的长度分别为 9， 12、 15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 108 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】首先利用勾股定理的逆定理，判定给三角形的形状，求拼成的四边形的面积就是这样两个三角形的面积和，由此列式解答即可 【解答】 解： 92+122=225， 152=225， 92+122=152， 这个三角形为直角三角形，且 9和 12 是两条直角边； 拼成的四边形的面积 = 9 12 2=108 故答案为： 108 【点评】此题考查勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长 a， b， a2+b2=么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 11如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7方形 A， B， 1014正方形 17 【考点】勾股定理 【分析】根据勾股定理有 S 正方形 1+S 正方形 2=S 大正方形 =49， S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 2， S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 1，等量代换即可求正方形 【解答】解：根据勾股定理可知， S 正方形 1+S 正方形 2=S 大正方形 =49， S 正方形 C+S 正方形 D=S 正方形 2， S 正方形 A+S 正方形 B=S 正方形 1， 第 9页（共 15页） S 大正方形 =S 正方形 C+S 正方形 D+S 正方形 A+S 正方形 B=49 正方形 49 8 10 14=17（ 故答案为： 17 【点评】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积 12如图，将一根长 12厘米的筷子置于底面直径为 6 厘米，高为 8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 2 厘米 【考点】勾股定理的应用 【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 =10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出 【解答】解：如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形， 勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即 =10 筷子露在杯子外面的长度至少为 12 10=2 故答案为 2 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键 第 10页（共 15页） 三、解答题 13某直角三角形的周长为 30，且一条直角边长为 5，求另一条直角边的长 【考点】勾股定理 【分析】设另一条直角边的长为 x，根据三角形的周长的定义表示出斜边，再利用勾股定理列出方程求解即可 【解答】解：设另一条直角边的长为 x， 则斜边为： 30 5 x=25 x， 由勾股定理得， 2=（ 25 x） 2， 解得 x=12 答：另一条直角边的长 12 【点评】本题考查了勾股定理，读懂题目信息，利用勾股定理 列出方程是解题的关键 14如图 1，是一个长方体盒子，长 ，宽 ，高 （ 1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 ，求它所行走的最短路线的长 （ 2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？ 解：（ 1）蚂蚁从点 有三种可能，展开成平面图形如图 2所示，由勾股定理计算出 37 、 25 、 29 ，比较后得 25 即最短路线的长是 5 （ 2）如图 3， 2+22+12=21 【考点】平面展开 【分析】（ 1）蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后利用勾股定理求其对角线，比较大小即可求得最短的途径； （ 2）根据勾股定理，知长方体盒子内能容下的最长木棒的平方等于长方体的长、宽、高的平方和 第 11页（共 15页） 【解答】解：（ 1）蚂蚁从点 有三种可能，展开成平面图形如图 2所示，由勾股定理计算出 4+2） 2+12=37、 42+（ 1+2） 2=25、 22+（ 4+1） 2=29，比较后得 5即最短路线的长是 5 （ 2）如图 3， 2+22+12=21 故答案为 37， 25， 29， 5 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题及勾股定理的应用 “ 化曲面为平面 ” 是解决 “ 怎样爬行最近 ” 这类问题的关键注意：长方体中最长的对角线的平方等于长方体的长、宽、高的平方和 15（ 2009秋 福鼎市校级月考）一个三角形三条边的比为 5： 12： 13，且周长为 60它的 面积 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理 【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据周长求得直角三角形的两条直角边，从而求得其面积 【解答】解：设该三角形的三边是 5k， 12k， 13k 因为（ 5k） 2+（ 12k） 2=（ 13k） 2， 所以根据勾股定理的逆定理，得该三角形是直角三角形 根据题意，得 5k+12k+13k=60， 解得 k=2， 则 5k=10， 12k=24， 则该直角三角形的面积是 120 故答案为： 120 第 12页（共 15页） 【点评】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，同时熟悉直角三 角形的面积公式 16如图，直线 a、 b、 c，其中 a、 和 11求正方形 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质 【分析】根据正方形的性质得出 0 ， B， 0 ，求出 据 据全等得出 E， C，根据勾股定理得出即可 【解答】解： 根据正方形的性质得： 0 ， B， 0 ， 0 ， 0 ， 在 E， C， 在 勾股定理得： +11=16， 即正方形 6 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是求出 目比较好 17如图，在 C=25，点