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第十讲 二次函数的根分布 1. 一元二次方程根的分布（1）一元二次方程根的分布问题一般利用其相应的二次函数图像解决比较方便，通常考察以下四点：1）抛物线的开口方向；2）判别式的符号；3）对称轴的位置；4）区间端点值的符号。（2）方程在上有且只有一解的充要条件是。有关根的分布的一些基本结论列表如下：的根图像条件一根比大，一根比小（特例：一正一负根）两根都大于（特例：两个正数或两个负数）两根在区间()内一根小于，另一根大于（）1. （1）方程有一正一负根，求的取值范围。解：由题意知，函数与轴两交点位于原点两侧，则，解得。（2）关于的一元二次方程的一根大于，另一根小于，求的取值范围。，即得。2. 方程（是常数）有两实根，且，求的取值范围。3. 方程有两个正根，求的取值范围。解：法一:由题意知，要使方程有两个正根则，解得 ；法二：利用根的分布求解，要使方程有两个正根，则函数图像与轴交点在原点右侧，即，同上解。4. 试确定实数的值，使方程的根均为负数。解：法一：由题意知，要使方程有负根则，解得；法二：利用根的分布求解，要使方程的根均为负，则函数图像与轴交点在原点左侧，即同上解。5. 已知二次函数（1）在什么范围内时，它的图像与轴有两个交点？（2）同（1），但要求两个交点在原点的同一边（不包括原点）.解：（1）由题意知，解得。（2）要使两交点在原点同一边，即可在左边和右边（不用考虑对称轴的位置），则，解得6. 整系数方程的两根异号且正根的绝对值小于负根的绝对值，求的值。7. 已知抛物线，当抛物线与x轴的两个交点都位于点 （1，0）右侧时，求m的取值范围。解： 由题意知，解得且。 【另解】， 所以与x轴两个交点为。则且 所以且。8. 取何值时，方程在区间（）中有两个不相等的实根。解：由题意知函数的图像开口向上，则，解得。9. 已知关于的方程在范围内有两个根，求的取值范围。解：由题意知函数的图像开口向上，则，解得。10. 设二次方程的系数都是奇数，它的两个实根满足，若，求。11. 确定的值，使抛物线与轴的交点至少有一个在原点右侧（不包括原点）。解：由题意知，要求至少有一个正根。则两根都为正根：，解得；或一正一负根：，解得；综合知：。12. 确定的最大的整数值，使二次方程分别满足下列条件：（1）有一个实根比大，另一个实根比小；（2）有一个实根比小，另一个实根比大；（3）有一个实根比小，另一个实根在与之间。解：由于函数图像开口向上，则（1），解得，即则最大整数为；（2），解得，则最大整数为；（3），解得，则最大整数为。【作业1】 为何值时，关于的方程两根均大于？解：由题意知，解得
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