数学建模层次分析法.ppt

层次分析法,AnalyticHierarchyProcessAHP,T.L.saaty,层次分析法建模,一问题的提出日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。,例3择业面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。,面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。,选择钢笔,层次分析法的基本思路：,与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。,质量、颜色、价格、外形、实用,钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4,质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔,二层次分析法的基本步骤,1建立层次结构模型一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型,准则层,方案层,目标层,例2层次结构模型,准则层A,方案层B,目标层Z,若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。,设某层有个因素，,2构造成对比较矩阵,要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把个因素对上层某一目标的影响程度排序）,用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则,则称为成对比较矩阵。,上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时取19尺度。,尺度,第个因素与第个因素的影响相同,第个因素比第个因素的影响稍强,第个因素比第个因素的影响强,第个因素比第个因素的影响明强,第个因素比第个因素的影响绝对地强,含义,比较尺度：（19尺度的含义）,2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。,标度法10.心理学研究表明，人们通过感觉思维比较判断两个对象的相对差别是可能的。20.同时比较时能区别差异的心理学极限为72个。,30.实验表明9级标度法是可行的。光源四面放四个物体,距离为27,45,63,84。可算得它们的相对亮度为0.607,0.219,0.111,0.063。记W：较亮，S：亮，D：很亮，A：绝对亮。由人进行相对比较,得(c1-c2):W-S,(c1-c3):S-D,(c1-c4):D,(c2-c3):W,(c2-c4):W-S,(c3-c4):W,由上述定义知，成对比较矩阵,则称为正互反阵。比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z的影响两两比较结果如下：,满足一下性质,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。,由上表，可得成对比较矩阵,旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3阶）。,问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？,3层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。例如一块石头重量记为1，打碎分成各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵可以看出，,即，,在正互反矩阵中，若,则称为一致阵。,但在例2的成对比较矩阵中，,一致阵的性质：,5.的任一列(行)都是对应于特征根的特征向量。,一致性判断矩阵各列均是判断矩阵的特征向量若特征向量为w=(w1,wn),则有aij=aik/ajk=wi/wj表示wi与wj之间的比值,是这两者重要性之间的一个判断.w就是各对象之间的一个排序.即:各列均表示被判断元素之间的排序。,若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最大特征根的归一化特征向量，且,定理：阶互反阵的最大特征根，当且仅当时，为一致阵。,表示下层第个因素对上层某因素影响程度的权值。,若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量，则,这样确定权向量的方法称为特征根法.,定义一致性指标,其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。,随机一致性指标固定n,令A的上三角从1/9,1,2,9中随机取值,构成正互反矩阵。计算它的CI。对每个n=1,2,9分别随机地抽取n=100500个样本,得到Ank和CInk(不一致判