第三章-误差理论.ppt

2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,1,第三章测量误差理论及其处理基础,3.1测量误差概述3.2偶然误差的特性3.3衡量精度的指标3.4误差传播定律3.5等精度直接观测平差3.6不等精度直接观测平差,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,2,测量与观测值,观测与观测值的分类,观测条件,等精度观测和不等精度观测,直接观测和间接观测,独立观测和非独立观测,3.1测量误差概述,测量即将物理量与作为单位的量比较，求出其相对于单位量的数值过程。一次测量过程称观测，得到的数值称观测值或观测结果。,观测误差与模型误差,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,3,一、测量误差产生的原因,测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等,测量误差的表现形式,测量误差（真误差=观测值-真值）,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,4,例：误差处理方法钢尺尺长误差ld计算改正钢尺温度误差lt计算改正水准仪i角误差操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C操作时抵消(盘左盘右取平均),2.系统误差误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。,系统误差可以消除或减弱。(计算改正、观测方法、仪器检校),二、测量误差的分类：,1.粗差(错误)超限的误差。不允许出现在测量结果中。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,5,3.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。,三、测量误差的处理原则多余观测,四、测量平差,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,6,举例:在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。,3.3偶然误差的特性,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,7,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,8,用频率直方图表示的偶然误差统计：,频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。,频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。,各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律,图3-1误差统计直方图,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,9,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,3.偶然误差的特性,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,10,偶然误差具有正态分布的特性,当观测次数n无限增多(n)、误差区间d无限缩小(d0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。,图3-2误差频率直方图,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,11,3.2衡量精度的指标,准确度（外部精度）测量成果与真值接近的程度系统误差越小，准确度越高,一、精度的概念:,精密度（内部精度）观测值之间的离散程度偶然误差越小，准确度越高,精度是准确度与精密度的统称，无系统误差时二者统一,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,12,1.方差与中误差,x=,y,正态分布曲线(a=0),令：，上式为：,二、衡量精度的指标,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,13,标准差的数学意义,表示的离散程度,x=,y,较小,较大,称为标准差：,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,14,测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。,中误差:,观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,15,P123表5-2,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,16,m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：,m1=2.7是第一组观测值的中误差；m2=3.6是第二组观测值的中误差。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,17,2.容许误差(极限误差),2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,18,3.相对误差(相对中误差)误差绝对值与观测量之比。,用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,K2K1，所以距离S2精度较高。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,19,一.一般函数的中误差,令的系数为，(c)式为：,3.4误差传播定律,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,20,对Z观测了k次，有k个式,(d),2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,21,由偶然误差的抵偿性知：,(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：,即,(h),2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,22,(h),考虑，代入上式，得中误差关系式：,(3-26),上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,23,通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,24,解：列函数式求全微分中误差式,二.几种常用函数的中误差,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,25,2.线性函数的中误差,设有函数式全微分中误差式,例：设有某线性函数其中、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,26,函数式全微分中误差式,3.算术平均值的中误差式,对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,27,4.和或差函数的中误差,函数式：全微分：中误差式：,当等精度观测时：上式可写成：,例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。解：,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,28,观测值函数中误差公式汇总,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,29,误差传播定律的应用,用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,30,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(1)测量水平距离的精度基本公式：,求全微分：,水平距离中误差：,其中：,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,31,误差传播定律的应用,例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。,解:(2)测量高差的精度基本公式：,求全微分：,高差中误差：,其中：,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,32,误差传播定律的应用,例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.,解:(1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.,面积,周长的中误差为,全微分:,面积的中误差为,全微分:,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,33,解:(1)周长和面积的中误差分别为,例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.,(2)周长;周长的中误差为,面积,得周长的中误差为,全微分:,但由于,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,34,观测值的算术平均值(最或是值)用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式),3.5同（等）精度直接观测平差,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,35,一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值),上式等号两边分别相加得和：,L=,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,36,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,37,观测值改正数特点,二.观测值的改正数v：,以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合vv=min的“最小二乘原则”。,Vi=L-i(i=1,2,n),2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,38,精度评定,精度评定,用观测值的改正数v计算中误差,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,39,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,40,证明两式根号内相等,中误差定义:,白塞尔公式:,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,41,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：,例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。,算例1:,7642451.74,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,42,距离丈量精度计算例,算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术平均值；观测值的中误差；算术平均值的中误差；算术平均值的相对中误差：,凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,43,3.6不同精度直接观测平差,一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。,1权的定义：设一组不同精度的观测值为li,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为：,称Pi为观测值li的权。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,44,1权的定义：,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,2权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,45,二、测量中常用的定权方法,1同精度观测值的权对于一组同精度观测值li，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定=m2，则一次观测值的权为：,n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：,同精度观测值算术平均值的权为：,2020年6月12日星期五,长安大学地测学院,46,二、测量中常用的定权方法,2单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值li，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定=m2，则有：,数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用表示。对于中误差为