古巴比伦的数学.ppt

源自河谷的古老文明,主讲：徐虹,数学的萌芽古巴比伦的数学,1.2古巴比伦数学,1.2.01古巴比伦文明1.2.02古巴比伦的文字1.2.1古巴比伦的记数制与算数1.2.2古巴比伦的代数1.2.3古巴比伦的几何1.2.4古巴比伦的天文总结：古巴比伦对数学发展的贡献,巴比伦文明,“巴比伦人”是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学。约公元前2000多年，在两河流域建立了巴比伦王国，约公元前4000年左右，苏默人开始在两河流域（古代称美索波达米亚）定居，约在公元前3000年创造了自已的文化。在公元前2500年，苏默人受到阿卡德人的政治控制，由于阿卡德人统治力量越来越强大，苏默文化就被阿卡德文化所淹没了。公元前1700年左右，汉穆拉比建立了巴比伦的第一王朝，把自已称为“苏默人和阿卡德人的大王”。作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取了清理灌溉的措施，制造抽水机，并在全国范围内，划分土地，分配收获的粮食，修建谷仑，向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展。这些都是使数学得以发展的社会因素。促使巴比伦数学产生、发展的另一个因素是建立了货币制度。开始时，他们把谷物或者银器作为货币单位。国家利用实物或银器征收税务，后来采取用银币代替货物的支付方法，这样进一步完善了货币制度，使单位换算成为必须。尽管巴比伦统治者变动频繁，但数学知识的传播和使用，从古代至少一直到亚里山大时代，始终连续不断。,古巴比伦的文字,19世纪前期，在美索不达米亚挖掘出了大约五十万块刻写着文字的大小各异的黏土书板，上面密密麻麻地刻有的奇怪的符号实际上就是巴比伦人所用的文字，人们称它为“楔形文字”。而在五十万块书板中，约有400块已被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板。但是一直到公元1800年前不久，还没有谁对楔形文字作出成功的破译。最终打开这些书板刻写的文字之谜的是一位叫罗林森（Rawlinson1810-1895）的法国学者。之后对这些泥板文书的研究揭示了一个远比古埃及人先进的美索不达米亚早期数学文化。,保存至今的这批数学原稿可以分为三组：,第一组大约在公元前2100年苏美尔（Snmer）文化末期。第二组数量很大，从汉莫拉比时代（公元前1792-1750）即第一代巴比伦王朝开始，直到大约公元前1600年。第三组内容丰富,大约从公元前600年-直到公元300年,包括内布恰德内扎尔（Nebuchadnezzar）的新巴比伦帝国与随后的波斯和塞流西得（Seleucid）时代。第二组和第三组之间出现一段空白,正是巴比伦历史上的一个特殊的动乱时期。考古学家对这些数学书板的内容在1935年以前了解很少；现在已有了一些了解,但更深入的研究和探索还在进行当中。,古巴比伦数的写法,美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统。这种记数制对60以内的整数采用简单十进累记法。在泥版上，巴比伦人用“”表示1，用“”表示10，其他数通过和的组合实现。比如35，就用：1602+060+20=3620。到了2000年前巴比伦人才采用表示“零”因此像代表2，3，0，41即2603+3602+41=442841（见书P10）,例如，耶鲁大学收藏的一块泥板文书中有这样的问题：,已知依几布姆(igibum)比依古姆(igum)大7，问依几布姆和依古姆各为多少？（这里igibum和igum是古巴比伦数学文献中表示互为倒数的两个数的专有术语，在十进制中则相当于乘积为六十之幂的两个数）解：若以x表示igibum，y表示igum，则该题相当于求解方程组这又相当于先求解一个一元二次方程：题中给出的算法相当于:也就是今天熟知的二次方程的求根公式：,三次方程,像这样的纯三次方程，主要是通过查立方表或立方根表来求解。形如的混合三次方程也是籍现成的表来求解。巴比伦人编有专门的的数值表（其中n为整数）。,巴比伦人怎样进行除法运算,你能了解这是什么意思吗？从一些泥板书里可以看出下面的对应：,四十多年前考古学家发现这事实上就是巴比伦人的“倒数表”,可以看出这就是整数n的倒数1n用60进的分数来表示比如说27对应2，13，20意思就是：,为什么要构造这样的“倒数表”呢？,我们在小学学计算：先学加，然后学减；先学乘，然后学除。如现在要算ab,就可以把问题转化为a(1b)这样只要知道b的倒数，我们就“化除为乘”，计算有时是会快捷一些。古巴比伦人也懂得这个道理，因此在实际生活上：如在灌溉，计算工资，利息，税项，天文等问题上遇到除的问题，就尽可能将它转变为乘的问题来解决，这时候“倒数表”就很有用了。,1945年美籍德国学者诺依格包尔首先揭示了普林顿322的数论意义,根据诺依格包尔等人的研究，普林顿322数表与所谓“整勾股数”有关。满足关系式的一组整数叫整勾股数，西方文献中也成“毕达哥拉斯数”。计算表明：普林顿322数表第、列的相应数字，恰好构成了毕达哥拉斯三角形中的斜边与直角边。如：第一行在十进制下易见只有四处例外，诺依格包尔将它们解释为某种笔误,普林顿322号泥板书,其年代当在公元前1600年以前,普林顿322实际上是一张表格，由4列15行六十进制数字组成：,注意到以上的表缺少了：7，11，13，14，17，19，21，23，26，28，31，33，34，35等等这是什么原因呢？巴比伦人只列下以60进位制的分数表示式是有限长的那些整数，而这些整数只能是2a3b5c（这里a，b，c是大于或等于零的整数）的样子（例）例1：对于7，它的倒数如果是以60进位数表示得到循环分数即8，34，17，8，34，17直到无穷例2：对于11，同理，我们得5，27，16，21，49然后重复以至无穷。,素毕氏三数,现在人们把象（3，4，5）这样一组能作为一个直角三角形的边的正整数称为毕达哥拉斯数简称为毕氏三数。如果这样一组数除了1以外，没有其他公因子，则就称它为素毕氏三数。（3，4，5）是素毕氏三数，而（6，8，10）则不是。现在我们已经证明了所有的素毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表达：a=2uv,b=u2-v2,c=u2+v2这里，u和v互素，奇偶性不同，并且uv例如：u=2，v=1，则得素毕氏三数a=4，b=3，c=5,复利问题,例：有一笔钱，设本金为1，利息率为每年20，问经过多长时间以后利息与本金相等？1、这实际上是求解指数方程（1+20%)x=2。2、由指数表，古巴比伦人先确定3X4,再使用一次插值求4与X的差。3、这相当于现在的算法：见书P10,结绳记事是我国原始公社时期的一种计量方法，是原始公社时期社会生产力发展到一定程度，由于社会生活的实际需要而产生的。周易系辞下：“上古结绳而治。”传说结绳记事，始于伏羲时代。西汉时曾经出现伏羲与女娲结绳的画像；在东汉武梁祠的浮雕上还刻有“伏羲仓精，初造王业，画卦结绳，以理海内”的铭文。关于结绳记事的方法，郑玄在周易正义中的注解说：“为约，事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”路史前纪罗苹注，对此有所补充：“子夏易传云：上古官职未设，人自为治，记其事，将其命而已，故可以结绳为。九家易云：古无文字，其有约誓之事，事大，大其绳；事小，小其绳。结之多少，随物众寡，执以相考。这就说明，当时已产生了简单的分组（大事，小事），与简单的分组总量指标（大事件数，小事件数），成为我国统计的萌芽。,1.1.1结绳事记,比方说：,巴比伦城南的农民交来了429袋的麦作为国王的税金，而城东的农民交来了253袋的麦。因此国王的仓库增加了429+253=682袋粮食。我们用笔算一下子就得到答案，可是巴比伦人却是先在泥板的小槽上分别放上：4个，2个，9个的金属球，这代表了42