同济大学微积分第三版课件第四章第七节.ppt

,第七节二阶常系数线性微分方程,本节要点,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,三、二阶常系数非齐次线性微分方程的应用,一、二阶常系数齐次线性微分方程,在上节的方程中，如果都是常数，即方程可写成,则称为二阶常系数齐次线性微分方程.,在上一节的讨论中看到，如能求出的两个线性无关解则可得到方程的通解.,我们看到，当为常数时，指数函数及其各阶导数都只相差一个常数.由此我们考虑方程是否具有这种形式的解.,对函数求一阶及二阶导，得到,将上式代入到式，得到,由于由此得到,此说明只要是的根，则函数就是微分方程的解.因此我们称代数方程是微分方程的特征方程.由一元二次方程的求根公式，它的两个根为,由不同取值，可得到方程的三种不同形式的通解.现依次讨论如下：,此时方程有两个不同的实根,因而方程有两个线性无关解故方程的通解为,此时方程有两个相同的实根,此时我们得到方程的一个解为求方程的另一个解并使得常数，利用常数变易法，设对求导得,再代入，有,即,因是特征方程的二重根，故,且,于是有故令即得方程的另一个根,从而得到方程的通解为,此时方程有一对共轭复根,此时方程有解，但注意到该解为复数形式.为求实数形式的解，利用欧拉公式,从而将改写成,利用共轭复数的性质，得,容易看到仍然是方程的解，它们不仅仅是实数解，而且是线性无关的.由此得到方程的通解,综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程,的通解的步骤如下：,写出微分方程的特征方程,求出特征方程的两个根,根据特征方程的两个根的不同形式,按照下列规则写出微分方程的通解:,若特征方程有两个不同的实根则,若特征方程有两个相同的实根则,若特征方程有一对共轭服根则,例1求解微分方程,解特征方程为,方程的两个解为因而方程的通解为,例2求解微分方程,解特征方程为,因而方程有二重根,故方程的通解为,例3求解微分方程,解特征方程为,相应的解为一对共轭复根,此时故原方程的通解为,二阶常系数齐次线性微分方程的上述解法可以推广到阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为,其中为常数对应的特征方程为,根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下:,单实根一项：,共轭复根两项：,重实根项：,重共轭复根,2项,例4求解方程,解方程所对应的特征方程为,因,即相应的特征根为,由此得到方程的通解为,例5求解方程,解方程所对应的特征方程为,因,由此得到特征方程的根分别为,因而微分方程的通解为,例6求解方程,解先求出微分方程的通解。由特征方程,由此得到因而微分方程的通解为,由初始条件得方程组,解此方程组得因而方程的解为,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是,其中是常数，不恒等于零.由定理2可知，求方程的通解可归结为求对应的齐次线性微分方程,的通解与非齐次线性微分方程的一个特解.由上一目知，二阶齐次线性微分方程的解法已经知道，所以现在只需讨论方程的一个特解的解法.,在这里我们只介绍当中的取以下两种常见的函数形式时，特解的求法.,(其中是常数，是的次多项式)；,(其中是常数，分别是的次多项式).,这里介绍的方法的特点是不用积分就可以求出来，实际上是先确定解的形式，再把形式解代入方程定出解中包含的常数的值.这种方法称为待定系数法.,.,因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，所以我们推测(其中是某个多项式)可能是方程的特解.为此，将,代入方程并消去得到,比较等式的两端，得到,若不是对应的特征方程的根，即则由式知是一个次的多项式.即令,代入式并比较等式两端的系数，可确定,若是特征方程所对应的单根，即但则为一个次多项式，即令,用同样的方法可确定的系数,若是特征方程的二重根，即且则由式知为一个次的多项式，故令,用同样的方法可确定的系数,由此我们有以下的结论：,方程,的特解，其中为一个与同次的多项式，而,例7求方程的某一特解,解微分方程对应的特征方程为而此时是特征方程的单根，故可设,得,比较系数得,即，原方程的特解为,例7求解方程,解特征方程为故为二重根，因而原方程对应的齐次方程,的通解为,又为特征方程的二重根，故令,得,即,故方程的通解为,例8求解方程,解先求出原方程对应的齐次方程的通解。易得,再求的特解因不是根，故可设求导得,得,比较等式两端的系数，得,即,即,最后求的特解因为单根，故可设,代入，得,比较系数得,故,由此得到方程的通解为,.,应用欧拉公式，将三角函数表示为复指数函数的的形式，从而有,其中,是互为共轭的次多项式，而,应用情形的结果，对与中的第一项方程,有解由于中的第二项与第一项共轭，所以与共轭的函数必然是方程,的解，于是由定理3，方程具有形如,的特解又由于上式可写成：,由于括号内的两项相互共轭，相加后无虚部，故可写成实函数的形式,综上所述，我们有如下的结论,方程,具有形如,的特解，其中是次的多项式，而按是否为特征方程的根而分别取1或0.,例9求微分方程的一个特解,解原微分方程对应的特征方程为相应的解为而此时不是特征方程的根.设特解为,因,代入原方程，得,比较两端同类项的系数，得,由此得,解得从而得方程的一个特解,例10若曲线是方程的一条积分曲线，此曲线过且在点处的切线的倾角为曲率为零，求曲线的方程.,解齐次方程为相应的特征方程为,方程的解为故齐次方程的通解为,非齐次方程有特解,代入原方程,得,即方程的通解为,再由初始条件,得方程的解为,三、应用举例,例11自由振动问题设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体.当物体处于静止状态时,用在这个物体上的重力与弹性力大小相等，方向相反，这个位置就是物体的平衡位置.取轴垂直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点.,如果使物体有一个初始位移与初始速度那么物体便会离开平衡位置，并且在平衡位置附近作上下振动,设时刻物体的平衡位置为设弹性恢复力为由力学知道，恢复力与物体离开平衡位置的位移成正比；即,其中为弹簧的弹性系数另外物体在运动过程中还受到阻尼介质的阻力作用当速度不大时，其大小与速度成正比，比例系数为则有,由上面的受力分析，及牛顿第二定律得,移项整理，并记,则上式为,此为在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程.,下面我们讨论两种情况下的自由振动,1.无阻尼自由振动设物体只受到恢复力的作用则微分方程为,此方程称为无阻尼自由振动的微分方程容易求出方程的通解是,满足初值条件的特解是,令其中则,于是上式为,函数反映的运动就是简谐振动.在这个简谐振动中，振幅为初相为周期为角频率为,2.有阻尼自由振动方程的特征方程为,相应的特征根为,以下按三种不同情形进行讨论：,小阻尼情形：,特征方程的根为,这是一对共轭复根，故方程的通解为,满足初值条件的特解是,记令其中,从式中可以看出，在小阻尼的情形下，物体仍然作周期的振动但与简谐振动不同的是，它的振幅随着时间的增大而逐渐减少为零.,则,于是上式为,大阻尼情形：,此时特征方程的根为为两个不相等的实根故方程的通解为,其中任意常数可由初值条件来确定,临界阻尼情形：,此时特征方程的根为两个相同的实数故方程的通解为,其中任意常数可由初值条件来确定.,如果物体在振动过程中还受到了位移方向上的周期性的干扰力，这时物体产生的运动叫做强迫振动或干扰振动.这种现象也是比较普遍地存在着的.我们以如下的实际问题为例来说明物体在强迫振动下的规律.,例11强迫振动与共振动问题设一质量为的电动振荡器安装在弹性梁上的点处，振荡器开动时对横梁产生一个垂直方向的干扰力(均为常数),使横梁发生振动如图所示，取轴过点，方向铅直向下，并设平衡点为原点.如果不计阻力和在点处横梁的重量，试求点在干扰力作用下的运动规律.,解如果不计阻力，则点在振动时受到两个力的作用,一个是弹性恢复力另一个是干扰力由牛顿第二定律得,记上式化为,并有初值条件这是二阶非齐次线性,微分方程的初值问题.,因方程对应的齐次方程,的通解为,其中是弹性梁的固有频率根据固有频率与干扰频率的关系，我们分两种情况来讨论方程的特解,如果则不是特征方程的根故可设,代入方程得,于是得方程的特解,由此得到方程的通解,由初值条件可定出的值从而点的运动规律为,上式表明，物体的运动有两部分组成，且都是简谐振动上式第一项表示自由振动，第二项所表示