人教新课标A版高中数学必修5第三章不等式3.4基本不等式同步测试

人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式 同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.若x0,y0，且， 则xy有（） A.最小值64B.最大值64C.最小值D.最大值2.设a0,b0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（） A.1B.2C.4D.3.若， 且则的最小值为（） A.2B.C.D.4.函数f(x)=2x+(x0)有（ ） A.最大值8B.最小值8C.最大值4D.最小值45.不等式的解集是 ( ) A.B.C.x|x2或xD.x|x26.设x0，y0， 则的最小值是（） A.B.C.D.7.已知正数满足， 则的最小值为（ ） A.B.C.D.8.若， 则对说法正确的是( ) A.有最大值B.有最小值C.无最大值和最小值D.无法确定9.若正实数a,b满足a+b=1，则+的最小值是( ) A.4B.6C.8D.910.设x ， y为正数，则（x+y）（ + ）的最小值为（ ） A.6B.9C.12D.1511.下列各式中，最小值等于的是（） A.B.C.D.12.设x，yR，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（） A.9B.25C.162D.5013.若直线+=1（a0，b0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A.2B.3C.4D.514.若a0，b0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（） A.B.C.D.15.设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A.a3+b3a2b+ab2B.C.D.二、填空题（共5题；共5分）16.已知x0，y0，且 ，则x+2y的最小值是_ 17.已知x0，y0且+=1，求x+y的最小值为_ 18.若2a=5b=10，则=_ 19.（2015重庆）设,则的最大值为_ . 20.若a0，b0，且ln（a+b）=0，则 + 的最小值是_ 三、解答题（共5题；共25分）21.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大最大面积是多少？ 22.建造一个容积为240m3 ， 深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2 ， 池底的造价为350元/m2 ， 如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？ 23.若正数x，y满足x+3y=5xy，求：（1）3x+4y的最小值；（2）求xy的最小值 24.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角PAQ始终为45（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t（I）用t表示出PQ的长度，并探求CPQ的周长l是否为定值；（）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值25.设函数f（x）=|xa|+5x（1）当a=1时，求不等式f（x）5x+3的解集；（2）若x1时有f（x）0，求a的取值范围 答案解析部分一、单选题1.【答案】A 【考点】基本不等式 【解析】【分析】和定积最大，直接运用均值不等式2/x+8/y=12=8， 就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件。【解答】因为x0，y0,所以2/x+8/y=12=8， 所以xy64当且仅当x=4，y=16时取等号，故选A。【点评】本题考查了均值不等式，定理的使用条件为一正二定三相等，利用基本不等式可求最值，和定积最大，积定和最小。2.【答案】B 【考点】对数的运算性质，基本不等式在最值问题中的应用，等差数列的性质 【解析】【解答】因为和的等差中项是， 所以， 所以， 当且仅当时取等号.【分析】应用基本不等式求最值时，一定要注意一正二定三相等三个条件缺一不可.3.【答案】C 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】， 选C4.【答案】B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】因为均值不等式中，两个数的几何平均数小于等于两个正数的算术平均数，因此得到f(x)=2x+(x0)当且仅当时取得等号，故选B.【分析】解决该试题的函数最值，可以运用函数的单调性，也可以运用均值不等式来得到，属于基础题。5.【答案】B 【考点】其他不等式的解法 【解析】【分析】由， 得， 即， 所以且， 解得.选 B。6.【答案】C 【考点】基本不等式 【解析】【解答】因为x0，y0，所以， 解不等式可得的最小值是22.7.【答案】C 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】根据题意，由于当且仅当x=时等号成立，故可知答案为C.8.【答案】B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】根据题意，由于， 说明x,y同号，则可知,利用基本不等式可知， 当x=y时等号成立，故答案为B.【分析】主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。9.【答案】D 【考点】基本不等式 【解析】【解答】由， 得， 当且公当， 即， 时，取等号.所以正确答案是D.10.【答案】B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】解答：x ， y为正数，（x+y）（ ） 1+4+2 =9 当且仅当 时取得“=”最小值为9 故选项为B分析：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值11.【答案】D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】对于A，可正可负，所以当时， 当时， 所以没有最小值；对于B，设， 则， 所以由在单调递增可知，时取得最小值；对于C，与选项A类似， 所以或， 所以没有最小值；对于D， 当且仅当即时取得等号；综上可知，D选项正确.12.【答案】D 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解: 5x0，5y0，又x+y=4，5x+5y故选D【分析】根据题意可得5x0，5y0，利用基本不等式5x+5y2即可13.【答案】C 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】直线+=1（a0，b0）过点（1，1），+=1（a0，b0），所以a+b=（+）（a+b）=2+当且仅当即a=b=2时取等号，a+b最小值是4，故选：C【分析】将（1，1）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可14.【答案】D 【考点】基本不等式 【解析】【解答】a0，b0，且a+b=4，ab故A不成立；， 故B不成立；， 故C不成立；ab4，a+b=4，162ab8，故D成立故选D【分析】由题设知ab， 由此能够排除选项A、B、C，从而得到正确选项15.【答案】C 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：Aa、b是互不相等的正数，a3+b3a2bab2=（ab）2（a+b）0，a3+b3a2b+ab2恒成立；Ba是正数， 2， = 0，因此恒成立；C取a=2，b=1，则|ab|+ =11=0，因此不成立；D. = ， = ， ， ，恒成立故选：C【分析】A由于a、b是互不相等的正数，作差a3+b3a2bab2=（ab）2（a+b）0，即可判断出正误；B由a是正数，可得 2，可得 = 0，即可判断出正误；C取a=2，b=1，则|ab|+ =11=0，即可判断出结论；D. = ， = ，而 ，即可判断出正误二、填空题16.【答案】8 【考点】基本不等式 【解析】【解答】解：x+2y=（x+2y）（ ）=2+ + +24+2 =8， 当且仅当 = 时，等号成立，故 x+2y的最小值为 8，故答案为：8【分析】根据x+2y=（x+2y）（ ）=2+ + +2，利用基本不等式求得它的最小值17.【答案】16 【考点】基本不等式 【解析】【解答】x0，y0，且+=1，x+y=（x+y）， 当且仅当y=3x=12时取等号故答案为：16【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出18.【答案】2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：2a=5b=10，a=log210，b=log510，=lg2，=lg5，=2（lg2+lg5）=2，故答案为：2【分析】由已知可得：a=log210，b=log510，根据换底公式的推论，可得=lg2，=lg5，结合对数的运算性质，可得答案19.【答案】3【考点】基本不等式 【解析】【解答】由两边同时加上得两边同时开方即得：(且当且仅当时取“=”成立）,故填.【分析】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为(且当且仅当时取“=”）再利用此不等式来求解。本体属于中档题，注意等号成立的条件。20.【答案】5+2 【考点】对数的运算性质，基本不等式 【解析】【解答】解：a0，b0，且ln（a+b）=0，a+b=1， + =（ + ）（a+b）=5+ + 5+2 =5+2 当且仅当 = 时取等号，结合a+b=1可解得a= 2且b=3 故答案为：5+2 【分析】由题意可得a+b=1，整体代入可得 + =（ + ）（a+b）=5+ + ，由基本不等式可得三、解答题21.【答案】解：设矩形的长和宽分别为x，y，x0，y0，2（x+y）=36，x+y=18，x0，y0，矩形的面积，当且仅当x=y=9时取“=”，当长和宽都为9m时，面积最大为81m2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】设长和宽分别为x，y，根据题意得到x+y=18，面积S=xy，利用基本不等式即可求解22.【答案】解：设水池的长为xm，由已知得池底的面积为（m2），水池的宽为（m），依题意得：0；化简得 x+=14；解得x=8或x=6（舍去）；答：当水池的长与宽分别为8m和6m时，水池的总造价为42000元 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】可设水池的长为xm，从而可以求出水池的底面积为48（m2），水池的宽为（m），这样根据题意即可建立关于x的方程，解方程便可得出使得水池总造价为42000元时的水池的长和宽23.【答案】解：（1）正数x，y满足x+3y=5xy，y=0，解得3x+4y=3x+=f（x），f（x）=3+=，当x1时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当1x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=53x+4y的最小值为1（2）正数x，y满足x+3y=5xy，5xy2，解得：xy，当且仅当x=3y=时取等号xy的最小值为 【考点】基本不等式 【解析】【分析】（1）法一：由正数x，y满足x+3y=5xy，可得y=0，解得.3x+4y=3x+=f（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 （2）正数x，y满足x+3y=5xy，利用基本不等式的性质即可得出24.【答案】解：（）由BP=t，得CP=1t，0t1，设PAB=，则DAQ=45，DQ=tan（45）=，CQ=1=，PQ=，l=CP+CQ+PQ=1t+=1t+1+t=2，是定值（）S=S正方形ABCDSABPSADQ=111t1，=1t=1t（1+），=1+，=2（+），由于1+t0，则S=2（+）22=2，当且仅当=，即t=1时等号成立，故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2平方百米 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【分析】（）由BP=t，得CP=1t，0t1，设PAB=，则DAQ=45，分别求出CP，CQ，PQ即可得到求出周长l=2，问题得以解决；（）根据S=S正方形ABCDSABPSADQ得到S=2（+），根据基本不等式的性质即可求出S的最大值25.【答案】解：（1）当a=1时，|x+1|+5x5x+3，故|x+1|3，故4x2，故不等式f（x）5x+3的解集为4，2；（2）当x0时，f（x）=|xa|+5x0恒成立，故只需使当1x0时，f（x）=|xa|+5x0，即|xa|5x，即（xa）225x2 ， 即（xa5x）（xa+5x）0，即（4