经济数学-微积分吴传生10-3

,一、微分方程在经济中的应用,二、小结,第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用,1.分析商品的市场价格与需求量(供应量)之间的关系,解,一、微分方程在经济中的应用,例1某商品的需求量x对价格p的弹性为-pln3.若该商品的最大需求量为1200(即p=0时，x=1200)(p的单位为元，x的单位为千克)，试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量.,即平衡解x=0是稳定的。,当价格为一元时，市场上对该商品的需求量为,供求平衡价格,当求大于供即DS时，则价格p上升.,现若价格是时间t的函数p=p(t)，在时间t时，价格的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即,试求价格p与时间t的函数关系.【设初始价格p(0)=p0】,当供大于求即SD时,价格p下降；,【0为常数】,解,均衡价格,均衡偏差,解：,解：,2.预测可再生资源的产量，预测商品的销售量,例3某林区现有木材10万立方米，如果时刻t木材的变化率与当时的木材数P(t)成正比。假设10年时木材为20万立方米。若规定木材量达到40万立方米才可砍伐，问至少多少年后才能砍伐。,由题设得,故至少20年后才能砍伐.,解：,例4在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y(t)，其变化率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘内鱼数y(t)的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？,称为逻辑斯提(Logistic)方程。,6个月后鱼数为,解：,例5某商场销售成本y和存储费用S均是时间t的函数，销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和；而存储费用的变化率为存储费用的(-1/3)倍，若当t=0时，销售成本y=0，存储费用S=10.试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系.,解：,3.成本分析,即成本时间函数为,解：(1),公司的净资产分析,例6某公司的净资产在运营过程中，像银行的存款一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产增加，同时，公司还必须以每年200百万元人民币的数额连续地支付职工的工资。,(1)列出描述公司净资产W的微分方程；(2)假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)；(3)描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.,净资产增长速率=利息盈取速率-工资支付速率,即,就是净资产所满足的微分方程.,W=4000为平衡解。,解：(2),(1)列出描述公司净资产W的微分方程；(2)假设公司的初始净资产为W0，求净资产W(t)；(3)描绘出当W0分别为3000,4000,5000时的解曲线.,由,W=4000为平衡解,(3),当W0=4000时,当W0=3000时,当W0=5000时,【不稳定】,解：,关于国民收入、储蓄与投资关系,解：,关于国民收入与国民债务问题,关于流动收入、流动消费和流动投资问题,解：,解：,关于商品存储过程中的基本衰减问题,解：,在其他方面的应用,解：,解：,二