概率论与数理统计期末复习PPT课件

概率统计期末复习,概率的计算(1) 事件之间的关系与运算(2) 古典概率的计算(3) 全概率公式与贝叶斯公式的运用(4) 已知分布下概率的计算,2. 一维随机变量(1) 重要的分布：均匀分布，二项分布， 泊松分布，指数分布，正态分布(2) 常用分布的数字特征(3) 随机变量函数的分布（离散与连续）(4) 切比雪夫不等式(5) 四大分布的定义：正态分布，t-分布， F-分布，2分布,3. 多维随机变量(1) 联合分布，边际分布，概率计算(2) 期望，方差，协方差，相关系数(3) 中心极限定理,4. 点估计与优良性(1) 矩法估计(2) 极大似然估计(3) 无偏性与有效性,5. 区间估计(1) 统计量概念，枢轴量的概念(2) 单正态总体均值与方差的区间估计,6. 假设检验假设检验的基本原理(2) 两类错误(3) 单正态总体均值与方差的假设检验,具体地。,求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则。,古典方法 设 为样本空间，若 只含有限个样本点; 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数,定理1.3.2 P()=0，逆不一定成立.,概率的性质,定理1.3.1 (对立事件公式) P( )=1P(A).,定理1.3.7 概率的加法公式 P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB)P(AC)P(BC) +P(ABC),古典方法确定概率的几种计算手段,1. 用排列组合直接计算,2. 用对立事件公式计算,3. 用加法公式计算,4. 利用对称性计算,特别注意掌握一些常见模型和问题,若试验E1的任一结果与试验E2的任一 结果都是相互独立的事件，则称这两个 试验相互独立，或称独立试验。,试验的独立性,贝努里试验： 若某种试验只有两个结果( 成功、失败；黑 球、白球；正面、反面)， 则称这个试验为 贝努里试验。 在贝努里试验中，一般记“成功”的概率为p. n 重贝努里试验： n次独立重复的贝努里试验。,n 重贝努里试验,在n 重贝努里试验中，记成功的次数为X.X 的可能取值为： 0，1，n.X 取值为 k 的概率为：,n 重贝努里试验成功的次数,(3) 全概率公式与贝叶斯公式的运用条件概率及其性质全概率公式贝叶斯公式,定义三大公式：乘法公式; 全概率公式;贝叶斯公式。,条件概率,定理1.5.1 (1) 若 P(B)0，则 P(AB) = P(B)P(A|B)； 若 P(A)0，则 P(AB) = P(A)P(B|A)。 (2) 若 P(A1A2 An1)0，则 P(A1A2 An) = P(A1)P(A2|A1) P(An|A1A2 An1),乘法公式,定理1.5.4 对任意事件和B , 如 P(B)，则,全概率公式,定理1.5.5 若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi)0，则,乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果” ，求“原因”的概率。,贝叶斯公式,若事件B1, B2 , , Bn是样本空间的一组分割，且P(A)0, P(Bi)0，则,定理1.5.6 贝叶斯公式,(4) 已知分布下概率的计算一些重要的分布给出，求概率,2. 一维随机变量,定义 设X为一个随机变量，对任意实数 x， 称 F(x)=P( X x) 为 X 的分布函数.基本性质： (1) F(x) 单调不降； (2) 有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1； (3) 右连续.,离散随机变量：分布函数分布列！连续随机变量：分布函数密度函数！,常用离散分布,二项分布 记为 X b(n, p).X为n重贝努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称 b(1, p) 为 0-1分布.,泊松分布,若随机变量 X 的概率分布为,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().,正态分布,记为X N(, 2),其中 0， 是任意实数., 是位置参数., 是尺度参数.,p(x),x,0,x,x,标准正态分布N(0, 1),密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).,(x) 的计算,(1) x 0 时, 查标准正态分布分布函数表.,(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aX0，则当 n 充分大时，有,第四章一般总体的结论,设 X 为总体,则,且 E(X) = , Var(X) = 2,为样本,正态总体的结论,设总体,则,为样本,(1),(2),独立.,(3),(4),第五章. 点估计与优良性(1) 矩法估计(2) 极大似然估计(3) 无偏性, 有效性, 相合性,参数估计的形式有两种：点估计与区间估计,(1) 矩法估计,矩法估计的基本思想：,用样本矩,代替母体矩,即,从中解出 .,4. 点估计与优良性,注 意 点 (1),若估计一个未知参数 ，则解方程,若估计两个未知参数 1, 2，则解方程组,注 意 点 (2),矩法估计也可以用样本中心矩,代替母体中心矩,即从,中解出 .,无偏性,设 是的一个估计，若 则称 是的无偏估计，否则称为有偏估计。,(3) 无偏性与有效性,注 意 点,是 E(X) 的无偏估计,是 Var(X) 的无偏估计,不是 Var(X) 的无偏估计,有效性,定义 设 是的两个无偏估计，如果对任意的，有 且有某个使得上述不等号严格成立，则称 比 有效。,点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量， 我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。 但我们可以要求估计量随着样本量的不断增大 而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。,相合性,定义 设为未知参数， 是的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个0，有 则称 为参数的相合估计。,矩估计一般都具有相合性。比如：,样本均值是总体均值的相合估计； 样本标准差是总体标准差的相合估计；,(2) 极大似然估计,求极大似然估计的方法,设总体含有待估参数 ，,得到样本观测值 x1, x2, xn,则找一个,使得x1, x2, xn出现的可能性最大。,极大似然估计的关键点,x1, x2, xn出现的可能性：,(1) 离散场合：,(2) 连续场合：,称以上 L 的为似然函数。,注意：(1) L 是 的函数， x1, x2, xn 固定。,(2) 可以是多维的 。,(3) 下面任务是求 L的极大点,5. 区间估计(1) 统计量概念(2) 单正态总体均值与方差的区间估计,5. 区间估计(1) 统计量概念,统计量 设x1,x2,xn 为取自某总体的样本，若样本函数T = T(x1, x2, , xn)中不含有任何未知参数。则称T为统计量。统计量的分布称为抽样分布。,几个常用的统计量：,样本 k 阶矩,原点矩,中心矩,一般总体的结论,设 X 为总体,则,且 E(X) = , Var(X) = 2,为样本,正态总体的结论,设总体,则,为样本,(1),(2),独立.,(3),(4),(2) 单正态总体均值与方差的区间估计,区间估计,设 是总体的一个未知参数 ， X1, X2, Xn 为来自该总体的样本，对给定的 0 1， 如果能够找到两个统计量,使得,则称随机区间,是 的置信水平或,置信度为1 置信区间。,分别称,为置信下限和置信上限.,注 意 点,点估计给出的是未知参数的一个近似值； 区间估计给出的是未知参数的一个近似范围， 并且这个范围包含未知参数值的可信度为 1 .,点估计有使用方便、直观等优点，但并没有 提供关于估计精度的任何信息。,枢轴量法,构造未知参数的置信区间的最常用的方法是枢轴量法，其步骤可以概括为如下三步：,1. 设法构造一个样本和的函数G = G(x1 , , xn ,) 使得 G 的分布不依赖于未知参数。 称 G 为枢轴量。,2. 选择二个常数 c, d，使对给定的 有P(cGd)=1,3. 假如能将cGd 进行恒等变化,则 是的1- 置信区间。,正态总体未知参数的置信区间,共分四种情况：,(1) 已知， 的置信区间,(2) 未知， 的置信区间,(3) 已知， 2的置信区间,(4) 未知， 2的置信区间,(1) 已知， 的置信区间,枢轴量,由,得,(2) 未知， 的置信区间,枢轴量,由,得,(3) 已知，2的置信区间,枢轴量,由,得,(4) 未知，2的置信区间,枢轴量,由,得,6. 假设检验(1) 假设检验的基本原理(2) 两类错误(3) 单正态总体均值与方差的假设检验,6. 假设检验(1) 假设检验的基本原理,依据样本对总体未知参数的某种假设 作出真伪判断。 （参数检验）,参数假设检验,X F(x,), 为参数,假设 =0,假设检验的基本思想,(1) 实际推断原理： 小概率事件在一次试验中不会出现.,注意：若小概率事件在一次试验中出现了, 就被认为是不合理的.,注 意 点,实际推断原理中，关于“小概率”的值通常根据 实际问题的要求而定，如取=0.1、0.05、0.01 等。 为检验的显著性水平 (检验水平).,在假设检验中，使得小概率事件出现的统计量 的取值范围 A 称为该假设检验的拒绝域，拒绝 域的边界称为该检验的临界值.,假设检验的基本记号,ii) 对立假设、备择假设 H1：,i) 原假设、零假设 H0：,iii) 检验水平 ,假设检验的基本步骤,第一步 提出待检验的原假设H0和对立假设H1;,第二步 选择检验统计量，并找出在假设H0成立条 件下，该统计量所服从的概率分布;,第三步 根据显著性水平 ，查检验统计量的分布的 临界值表，确定临界值和拒绝域 A;,第四步 将样本观察值代入检验统计量中，计算出 该统计量的值，若该值落入拒绝域A ，则 拒绝原假设H0，否则接受H0,(2) 二类错误,假设检验的两类错误,ii) 接