计算机控制系统--数学描述

计算机控制系统,北京航空航天大学清华大学出版社2006年11月,北京航空航天大学清华大学出版社,2/70,计算机控制系统,依审定的教材大纲编写。主编人：高金源夏洁出版发行：清华大学出版社,北京航空航天大学清华大学出版社,3/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,4/70,3.1.1差分的定义,连续函数，采样后为,简写,一阶向前差分：,二阶向前差分：,n阶向前差分：,一阶向后差分：,二阶向后差分：,n阶向后差分：,北京航空航天大学清华大学出版社,5/70,3.1.2差分方程,差分方程是确定时间序列的方程,连续系统,微分用差分代替,一般离散系统的差分方程：,差分方程还可用向后差分表示为：,北京航空航天大学清华大学出版社,6/70,3.1.3线性常系数差分方程的迭代求解,差分方程的解也分为通解与特解。通解是与方程初始状态有关的解。特解与外部输入有关，它描述系统在外部输入作用下的强迫运动。,例3-1已知差分方程,，试求,解：采用递推迭代法，有：,北京航空航天大学清华大学出版社,7/70,例3-1采用MATLAB程序求解,解序列为：k=0，1，9时，,n=10;%定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入输出和点数的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k,c,k:o)%绘输出响应图，每一点上用o表示,MATLAB程序：,c=0，1.0000，1.5000，1.7500，1.8750，1.9375，1.9688，1.9844，1.9922，1.9961，,差分方程的解序列表示,说明：另一个求解方法是利用z变换求解。,北京航空航天大学清华大学出版社,8/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,9/70,3.2.1z变换定义,1.z变换,采样信号,采样信号的z变换,注意：z变换中，z-1代表信号滞后一个采样周期，可称为单位延迟因子。,北京航空航天大学清华大学出版社,10/70,采样脉冲序列进行z变换的写法：,在实际应用中，对控制工程中多数信号，z变换所表示的无穷级数是收敛的，并可写成闭和形式。z的有理分式：z-1的有理分式:零、极点形式：,北京航空航天大学清华大学出版社,11/70,2.z反变换,求与z变换相对应的采样序列函数的过程称为z反变换。z反变换唯一，且对应的是采样序列值。,z变换只能反映采样点的信号，不能反映采样点之间的行为。,北京航空航天大学清华大学出版社,12/70,3.2.2z变换的基本定理,1线性定理2实位移定理（时移定理）(1)右位移（延迟）定理(2)左位移（超前）定理3复域位移定理,北京航空航天大学清华大学出版社,13/70,3.2.2z变换的基本定理,4初值定理5终值定理,若存在极限,，则有：,假定函数,全部极点均在z平面的单位圆内,或最多有一个极点在z=1处，则,北京航空航天大学清华大学出版社,14/70,3.2.3求z变换及反变换方法,1.z变换方法(1)级数求和法(根据定义)例3-6求指数函数的z变换,北京航空航天大学清华大学出版社,15/70,利用s域中的部分分式展开法,1.z变换方法,(2)F(s)的z变换,（L反变换）,(z变换),(采样),例3-7试求,的z变换。,解：,另一种由F(s)求取F(z)的方法是留数计算方法。本书对此不予讨论,北京航空航天大学清华大学出版社,16/70,利用MATLAB软件中的符号语言工具箱进行F(s)部分分式展开,已知,，通过部分分式展开法求F(z)。,F=sym(s+2)/(s*(s+1)2*(s+3)；%传递函数F(s)进行符号定义numF,denF=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开,MATLAB程序：,运行结果：R=0.0833-0.7500-0.50000.6667P=-3.0000-1.0000-1.00000K=（此题无K值）,对应部分分式分解结果为：,北京航空航天大学清华大学出版社,17/70,1.z变换方法,(3)利用z变换定理求取z变换式,例3-8已知f(t)=sint的z变换,的z变换。,解：利用z变换中的复位移定理可以很容易得到,试求,北京航空航天大学清华大学出版社,18/70,1.z变换方法,(4)查表法实际应用时可能遇到各种复杂函数，不可能采用上述方法进行推导计算。实际上，前人已通过各种方法针对常用函数进行了计算，求出了相应的F(z)并列出了表格，工程人员应用时，根据已知函数直接查表即可。具体表格见附录A。,部分分式,查表,求和,部分分式,查表,求和,北京航空航天大学清华大学出版社,19/70,2.z反变换方法,(1)查表法（可以直接从表中查得原函数）如已知z变换函数F(z)，可以依F(z)直接从给定的表格中求得它的原函数f*(t)。,北京航空航天大学清华大学出版社,20/70,2.z反变换方法,(2)部分分式法（较复杂，无法直接从表格中查其原函数）,部分分式,查表,求和,查表,北京航空航天大学清华大学出版社,21/70,部分分式法例子,例3-9求下式的z反变换,MATLAB程序：,Fz=sym(-3*z2+z)/(z2-2*z+1)；%进行符号定义F=Fz/z；numF,denF=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；R,P,K=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开,查表可得,其中,北京航空航天大学清华大学出版社,22/70,2.z反变换方法,(3)幂级数展开法（长除法）,例3-10已知,，求,对该例，从相关系数中可以归纳得：,北京航空航天大学清华大学出版社,23/70,3.2.4差分方程z变换解法,例3-11用z变换法求差分方程,利用z变换求解线性常系数差分方程，将差分方程的求解转换为代数方程的求解,c(k+2)-3c(k+1)+2c(k)=4k,解：(1)对每一项做z变换,(2)归纳整理,特解,通解,(3)z反变换,查表得,部分分式展开,假设初始条件为零，上式第2项为零,北京航空航天大学清华大学出版社,24/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,25/70,3.3.1脉冲传递函数的定义,定义：在初始条件为零时，,离散系统脉冲传递函数又称为z传递函数,输出量z变换,输入量z变换,输出的采样信号：,图3-6脉冲传递函数,北京航空航天大学清华大学出版社,26/70,3.3.2脉冲传递函数特性,离散系统脉冲传递函数的求取离散系统的脉冲传递函数可以看作是系统输入为单位脉冲时，其脉冲响应的z变换。若已知采样系统的连续传递函数G(s)，当其输出端加入虚拟开关变为离散系统时，其脉冲传递函数可按下述步骤求取：,（1）对G(s)做拉氏反变换，求得脉冲响应,（2）对采样，求得离散系统脉冲的响应为,（3）对离散脉冲响应做z变换，即得系统的脉冲传递函数为,几种脉冲传递函数的表示法均可应用,脉冲传递函数完全表征了系统或环节的输入与输出之间的特性，并且也只由系统或环节本身的结构参数决定，与输入信号无关。,北京航空航天大学清华大学出版社,27/70,3.3.2脉冲传递函数特性,2.脉冲传递函数的极点与零点极点当G(z)是G(s)由通过z变换得到时，它的极点是G(s)的极点按z=e-sT的关系一一映射得到。由此可知，G(z)的极点位置不仅与G(s)的极点有关，还与采样周期T密切相关。当采样周期T足够小时，G(s)的极点都将将密集地映射在z=1附近。零点G(z)的零点是采样周期T的复杂函数。采样过程会增加额外的零点。若连续系统G(s)没有不稳定的零点，且极点数与零点数之差大于2，当采样周期较小时，G(z)总会出现不稳定的零点，变成非最小相位系统。有不稳定零点的连续系统G(s)，只要采样周期取得合适，离散后也可得到没有不稳定零点的G(z)。,北京航空航天大学清华大学出版社,28/70,3.3.3差分方程与脉冲传递函数,1.由差分方程求脉冲传递函数,已知差分方程,，设初始条件为零。,两端进行z变换,脉冲传递函数,系统的特征多项式,系统输出,北京航空航天大学清华大学出版社,29/70,3.3.3差分方程与脉冲传递函数,2.由脉冲传递函数求差分方程,z反变换,z反变换,北京航空航天大学清华大学出版社,30/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,31/70,3.4.1环节串联连接的等效变换,1.采样系统中连续部分的结构形式,并不是所有结构都能写出环节的脉冲传递函数,北京航空航天大学清华大学出版社,32/70,3.4.1环节串联连接的等效变换,2.串联环节的脉冲传递函数,北京航空航天大学清华大学出版社,33/70,3.4.1环节串联连接的等效变换,3.并联环节的脉冲传递函数,根据叠加定理有：,北京航空航天大学清华大学出版社,34,3.4.2闭环反馈系统脉冲传递函数,图3-10采样控制系统典型结构,E(z)=R(z)-B(z)B(z)=G2G3H(z)U(z)E(z)=R(z)-G2G3H(z)U(z)C(z)=G2G3(z)U(z)U(z)=G1(z)E(z)C(z)=G2G3(z)G1(z)E(z),E(z)=R(z)/1+G1(z)G2G3H(z),一般系统输出z变换可按以下公式直接给出：,北京航空航天大学清华大学出版社,35/70,3.4.3计算机控制系统的闭环脉冲传递函数,1.数字部分的脉冲传递函数控制算法，通常有以下两种形式：差分方程脉冲传递函数D(z)连续传递函数脉冲传递函数D(z),(z变换法),(第5章的离散法),北京航空航天大学清华大学出版社,36/70,3.4.3计算机控制系统的闭环脉冲传递函数,2.连续部分的脉冲传递函数计算机输出的控制指令u*(t)是经过零阶保持器加到系统的被控对象上的，因此系统的连续部分由零阶保持器和被控对象组成。,被控对象传递函数,图3-11连续部分的系统结构,北京航空航天大学清华大学出版社,37/70,3.4.3计算机控制系统的闭环脉冲传递函数,3.闭环传递函数的求取例3-12求下图所示计算机控制系统闭环脉冲传递函数，已知T=1秒。,解：,T=1s,北京航空航天大学清华大学出版社,38,利用Matlab相应命令进行Z变换,c=00.6321d=1.0000-0.3679,MATLAB命令：,num=1;den=1,1;c,d=c2dm(num,den,0.1,zoh),计算输出,即得到,北京航空航天大学清华大学出版社,39/70,3.4.4干扰作用时闭环系统的输出,根据线性系统叠加定理，可分别计算指令信号和干扰信号作用下的输出响应。,图3-13有干扰时的计算机控制系统,R(s)单独作用时的系统输出N(s)=0,干扰单独作用时的系统输出R(s)=0,共同作用时的系统输出,北京航空航天大学清华大学出版社,40/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,41/70,3.5.1离散系统频率特性定义,在离散系统中，一个系统或环节的频率特性是指，在正弦信号作用下，系统或环节的稳态输出与输入的复数比随输入正弦信号频率变化的特性。,频率特性定义：,图3-14离散系统的频率特性,北京航空航天大学清华大学出版社,42/70,3.5.2离散系统频率特性的计算,离散系统频率特性的指数形式,幅频特性,相频特性,1.数值计算法按表达式逐点计算它的幅相频率特性。,连续系统：,离散系统：,例3-13,要求绘制它们的频率特性。,北京航空航天大学清华大学出版社,43,Matlab符号语言实现,Gs=sym(1/(s+1)；%传递函数F(s)T=0.5；numGs,denGs=numden(Gs)；%提取分子分母%将分母转化为一般多项式pnumGs=sym2poly(numGs)；pdenGs=sym2poly(denGs)；%Z变换pnumGz,pdenGz=c2dm(pnumGs,pdenGs,T,zoh)；w=0:0.1:19；mag,pha=bode(pnumGs,pdenGs,w)；dmag,dpha=dbode(pnumGz,pdenGz,T,w)；,fori=1:1:190ifdpha(i)=-180dpha(i)=dpha(i)+360；endendfigure(1);plot(w,mag,blue);holdon;plot(w,dmag,red);Gridon;axis(0,19,0,1.2);figure(2);plot(w,pha,blue);holdon;plot(w,dpha,red);Gridon;axis(0,19,-200,200);,北京航空航天大学清华大学出版社,44/70,图3-15例3-13的幅频和相频特性曲线,北京航空航天大学清华大学出版社,45/70,3.5.2离散系统频率特性的计算,2.几何作图法,北京航空航天大学清华大学出版社,46/70,3.5.3离散系统频率特性的特点,1.特点(1)周期性：周期为(2)幅频特性为的偶对称(3)相频特性为的奇对称,说明：由于离散环节频率特性不是的有理分式函数，在绘制对数频率特性时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特性。,北京航空航天大学清华大学出版社,47/70,2.应注意问题,离散环节频率特性不是的有理分式函数，在绘制对数频率特性时，不能像连续系统那样使用渐近对数频率特性。(2)离散环节频率特性形状与连续系统频率特性形状有较大差别，特别是当采样周期较大以及频率较高时，由于混叠，使频率特性形状有较大变化，主要表现有:高频时会出现多个峰值；可能出现正相位；仅在较小的采样周期或低频段与连续系统频率特性相接近。,北京航空航天大学清华大学出版社,48/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,49/70,3.6离散系统的状态空间描述,离散系统状态方程,n维,m维,p维,F：状态转移矩阵,G：输入矩阵或控制转移矩阵,C：状态输出矩阵,D：直接传输矩阵,连续系统状态空间模型,离散系统状态空间模型,图3-20状态方程框,北京航空航天大学清华大学出版社,50/70,3.6.1由差分方程建立离散状态方程,单输入单输出线性离散系统，可用n阶差分方程描述,选择状态变量,式中,则可得到离散系统状态方程，且有：,北京航空航天大学清华大学出版社,51/70,3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程,通常采用串行法、直接法等实现。,1.串行法（又称迭代法）,写成零极点形式,状态方程：,输出方程：,状态方程的矩阵形式：,北京航空航天大学清华大学出版社,52/70,3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程,2.并行法（又称部分分式法）,部分分式展开：,状态方程：,输出方程：,状态方程的矩阵形式：,北京航空航天大学清华大学出版社,53/70,3.6.2由脉冲传递函数建立离散状态方程,3.直接法,选状态变量：,状态方程的矩阵形式：,令,北京航空航天大学清华大学出版社,54/70,3.6.3计算机控制系统状态方程,1.系统连续部分的离散状态方程,被控对象的状态方程,假定系统是时不变的,状态转移矩阵,输入矩阵,状态转移矩阵F(t)的性质,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,一定存在。,北京航空航天大学清华大学出版社,56/70,3.6.3计算机控制系统状态方程,2.状态转移阵的求解(1)级数展开法,计算项数L可由精度要求确定。,状态转移阵,输入矩阵,北京航空航天大学清华大学出版社,57/70,3.6.3计算机控制系统状态方程,2.状态转移阵的求解(2)拉普拉斯变换法,状态转移阵,拉普拉斯反变换得,故有,北京航空航天大学清华大学出版社,58/70,3.6.3计算机控制系统状态方程,3.计算机控制系统闭环状态方程整个闭环系统的状态方程，可通过求取系统数字部分、广义被控对象部分以及反馈部分的状态方程，然后消去中间变量，经整理后得到。例3-17求图3-25所示系统的状态方程，T=0.1s,解：(1)数字部分：,选状态变量,可得方程,图3-25计算机控制系统,北京航空航天大学清华大学出版社,59/70,例3-17求图3-25所示系统的状态方程,（2）广义被控对象部分：,被控对象连续状态方程,利用拉氏变换法求,连续部分离散状态方程,北京航空航天大学清华大学出版社,60/70,例3-17求图3-25所示系统的状态方程,（3）反馈部分：,综合上面的式子，可得系统状态方程和输出方程为：,北京航空航天大学清华大学出版社,61/70,3.6.4离散状态方程求解,1.迭代法,离散状态方程的通式,已知k=0时系统状态x(0)以及,之间各个时刻的输入量,得到现时刻k的状态,2.z变换法,进行z反变换,比较后得结果,北京航空航天大学清华大学出版社,62/70,3.1离散系统时域描述差分方程3.2z变换3.3脉冲传递函数3.4离散系统的方块图分析3.5离散系统的频域描述3.6离散系统的状态空间描述3.7应用实例,北京航空航天大学清华大学出版社,63/70,3.7应用实例,求下图所示天线计算机控制系统的闭环传递函数、状态方程并利用MATLAB软件计算系统的单位阶跃响应及开环对数频率特性。