2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)

.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数z=2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A3B3C2D22（5分）设集合A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=3x，则AB的子集的个数是（）A4B3C2D13（5分）古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）ABCD4（5分）已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da25（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A（，2B2，1C1，2D2，+）6（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A96BCD7（5分）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）AAA种BA54种CCA种DC54种8（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（）A2日和5日B5日和6日C6日和11日D2日和11日9（5分）设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则的最小值为（）ABCD410（5分）设F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）=0（O为坐标原点），且|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）ABCD+111（5分）在ABC中，=，则sinA：sinB：sinC=（）A5：3：4B5：4：3C：2D：2：12（5分）若函数f（x）=x33x在（a，6a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A（，1）B，1）C2，1）D（2，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）若a=log43，则2a+2a= 14（5分）函数f（x）=2sin2（+x）cos2x（x）的值域为 15（5分）已知圆x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上动点，若PBQ=90，则线段PQ中点的轨迹方程为 16（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为 三解答17（12分）Sn为数列an前n项和，已知an0，an2+2an=4Sn+3，（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和18（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数0，2）2，4）4，6）6，8）8，10男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125（1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，ADBC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点（1）证明：ACEF；（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值20（12分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且=4，求y0的值21（12分）已知函数f（x）=lnxax2+（a2）x（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求函数y=f（x）在a2，a上的最大值请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：=（0），将射线l1顺时针旋转得到射线l2；=，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|OQ|的最大值选修4-5；不等式选讲23设不等式2|x1|x+2|0的解集为M，且a，bM（1）证明：|a+b|；（2）比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由2018年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知复数z=2i（其中i为虚数单位），则|z|=（）A3B3C2D2【解答】解：z=2i=2i=3i2i=33i，则|z|=3，故选：B2（5分）设集合A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=3x，则AB的子集的个数是（）A4B3C2D1【解答】解：A=（x，y）|x2+y2=1，B=（x，y）|y=3x，AB=（x，y）|，如图：由图可知，AB的元素有2个，则AB的子集有22=4个故选：A3（5分）古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）ABCD【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，则数列an是等比数列，公比q=2则=5，解得a3=故选：A4（5分）已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的平面直观图ABC的面积为（）Aa2Ba2Ca2Da2【解答】解：由于斜二测画法规则是在已知图象中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，画出相应的x轴和y轴，两轴相交于O，且使xOy=45 或135，它们确定的平面表示水平面，已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画出平行于x轴和y轴的线段，已知图形中平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变成原来的一半，ABC的平面直观图ABC的底边长不变，高变为=a，ABC的平面直观图ABC的面积S=故选：D5（5分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A（，2B2，1C1，2D2，+）【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值又输出的函数值在区间内，x2，1故选：B6（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A96BCD【解答】解：由三视图可知几何体为边长为4的正方体挖去一个圆锥得到的，圆锥的底面半径为2，高为2，圆锥的母线长为2几何体的平面部分面积为64222=964圆锥的侧面积为=4几何体的表面积为964+4故选：C7（5分）上海某小学组织6个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的6个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有（）AAA种BA54种CCA种DC54种【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，在6个年级中任选2个，去参观甲博物馆，有C62种选法，剩下4个年级中每个年级都可以在剩下的5个博物馆中任选1个参观，都有5种选法，则剩下4个年级有5555=54种选法，则一共有C6254种方案；故选：D8（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是（）A2日和5日B5日和6日C6日和11日D2日和11日【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C9（5分）设x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则的最小值为（）ABCD4【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，4a+6b=12，即2a+3b=6，=（）=（12+）4当且仅当时，的最小值为4故选：D10（5分）设F1，F2是双曲线=1（a0，b0）的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）=0（O为坐标原点），且|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）ABCD+1【解答】解：取PF2的中点A，则=2（）=0，2=0O是F1F2的中点OAPF1，PF1PF2，|PF1|=|PF2|，2a=|PF1|PF2|=（1）|PF2|，|PF1|2+|PF2|2=4c2，c=|PF2|，e=故选：D11（5分）在ABC中，=，则sinA：sinB：sinC=（）A5：3：4B5：4：3C：2D：2：【解答】解：ABC中，=，=，即 =，即=bc，即 2a2+2c22b2=3a2+3b23c2=6b2+6c26a2，设2a2+2c22b2=3a2+3b23c2=6b2+6c26a2=k，求得 a2=5k，b2=3k，c2=4k，a=，b=，c=2，由正弦定理可得a：b：c=sinA：sinB：sinC=：2，故选：C12（5分）若函数f（x）=x33x在（a，6a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（）A（，1）B，1）C2，1）D（2，1）【解答】解：由题意可得：函数 f（x）=x33x，所以f（x）=3x23令f（x）=3x23=0可得，x=1；因为函数 f（x）在区间（a，6a2）上有最小值，其最小值为f（1），所以函数f（x）在区间（a，6a2）内先减再增，即f（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a16a2，且f（a）=a33af（1）=2，且6a2a0，联立解得：2a1故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13（5分）若a=log43，则2a+2a=【解答】解：a=log43，可知4a=3，即2a=，所以2a+2a=+=故答案为：14（5分）函数f（x）=2sin2（+x）cos2x（x）的值域为1，2【解答】解：函数f（x）=2sin2（+x）cos2x=cos（+2x）cos2x+1=sin2xcos2x=2sin（2x），x，2x，当x=时，函数取得最大值为：2x=时，函数取得最小值为：1所以函数的值域为：1，2故答案为：1，215（5分）已知圆x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上动点，若PBQ=90，则线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2xy1=0【解答】解：设PQ的中点为N（x，y），在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x1）2+（y1）2=4故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2xy1=0故答案为：x2+y2xy1=016（5分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，x=，y=，kOM=，当且仅当t=时取等号，直线OM的斜率的最大值为故答案为：三解答17（12分）Sn为数列an前n项和，已知an0，an2+2an=4Sn+3，（1）求an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和【解答】解：（1）an0，an2+2an=4Sn+3，n2时，+2an1=4Sn1+3，相减可得：an2+2an（+2an1）=4an，化为：（an+an1）（anan12）=0，an0，anan12=0，即anan1=2，又=4a1+3，a10，解得a1=3数列an是等差数列，首项为3，公差为2an=3+2（n1）=2n+1（2）bn=，数列bn的前n项和=+=18（12分）人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0，10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：幸福感指数0，2）2，4）4，6）6，8）8，10男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125（1）在图中绘出频率分布直方图（说明：将各个小矩形纵坐标注在相应小矩形边的最上面），并估算该地区居民幸福感指数的平均值；（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）【解答】解：（1）频率分布直方图如右图所求的平均值为0.0121+0.01523+0.225+0.1527+0.12529=6.46，（2）男居民幸福的概率为：=0.5女居民幸福的概率为：=0.6，故一对夫妻都幸福的概率为：0.50.6=0.3，因此X的可能取值为0，1，2，3，4，且XB（4，0.3）于是P（X=k）=3k（10.3）4k（k=0，1，2，3，4），X的分布列为 X 0 1 2 34 p0.24010.4116 0.2646 0.07560.0081E（X）=np=40.3=1.219（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，ADBC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=PA=2，E，F分别为PB，AD的中点（1）证明：ACEF；（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值【解答】解：（1）易知AB，AD，A P两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设AB=t，则相关各点的坐标为：A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，0）（2分）从而=（，1，1），=（t，1，0），=（t，2，0）因为ACBD，所以=t2+2+0=0解得或（舍去） （4分）于是=（，1，1），=（，1，0）因为=1+1+0=0，所以，即ACEF （6分）（2）由（1）知，=（，1，2），=（0，2，2）设=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，则令，则=（1，） （9分）设直线EF与平面PCD所成角为，则sin=|cos，|=即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为（12分）20（12分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且=4，求y0的值【解答】解：（1）由e=，得3a2=4c2再由c2=a2b2，解得a=2b由题意可知 ，即ab=2解方程组 得a=2，b=1所以椭圆的方程为 （2）由（）可知点A的坐标是（2，0）设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k则直线l的方程为y=k（x+2）于是A、B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）=0由 ，得 从而 所以 设线段AB的中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：当k=0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由 ，得 当k0时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得 由 ，=，整理得7k2=2故 所以 综上，或 21（12分）已知函数f（x）=lnxax2+（a2）x（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（2）求函数y=f（x）在a2，a上的最大值【解答】解：（1）f（x）=lnxax2+（a2）x，函数的定义域为（0，+） f（x）=2ax+（a2）= f（x）在x=1处取得极值，即f（1）=（21）（a+1）=0，a=1 当a=1时，在（，1）内f（x）0，在（1，+）内f（x）0，x=1是函数y=f（x）的极小值点a=1 （2）a2a，0a1 f（x）=2ax+（a2）= x（0，+），ax+10，f（x）在（0，）上单调递增；在（，+）上单调递减，当0a时，f（x）在a2，a单调递增，fmax（x）=f（a）=lnaa3+a22a； 当，即a时，f（x）在（a2，）单调递增，在（，a）单调递减，fmax（x）=f（）=ln2+=1ln2； 当a2，即a1时，f（x）在a2，a单调递减，fmax（x）=f（a2）=2lnaa5+a32a2 综上所述，当0a时，函数y=f（x）在a2，a上的最大值是lnaa3+a22a；当a时，函数y=f（x）在a2，a上的最大值是1ln