函数的奇偶性经典例题

24 函数的奇偶性【知识网络】1奇函数、偶函数的定义及其判断方法；2奇函数、偶函数的图象3应用奇函数、偶函数解决问题【典型例题】例1（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）偶函数的图象一定与y轴相交；函数为奇函数的充要条件是；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）A1 B2 C3 D4提示：不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；正确；不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（，），答案为A（2）已知函数是偶函数，且其定义域为，则（）A，b0 B，b0 C，b0 D，b0提示：由为偶函数，得b0又定义域为， ，故答案为A（3）已知是定义在R上的奇函数，当时，则）在R上的表达式是（）A B C D提示：由时，是定义在R上的奇函数得：当x0时，即，答案为D（4）已知，且，那么f（2）等于提示：为奇函数，（5）已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为提示：由是偶函数，是奇函数，可得，联立，得：， 例2判断下列函数的奇偶性：（1）；(2)；（3）；（4）解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，为非奇非偶函数(2) ， 既是奇函数又是偶函数（3）由得定义域为， 为偶函数（4）当时，则，当时，则，综上所述，对任意的，都有，为奇函数例3若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：解：由已知得因f(x)是奇函数，故 ，于是又是定义在（1，1）上的增函数，从而即不等式的解集是例4已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，又（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在，6上的最大值与最小值（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 0令，可得 ，即，故为奇函数（2）证明：设R，且，则，于是从而所以，为减函数（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为于是，在-3，6上的最大值为2，最小值为 -4【课内练习】1下列命题中，真命题是（ C ）A函数是奇函数，且在定义域内为减函数B函数是奇函数，且在定义域内为增函数C函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数D函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数提示：A中，在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当时，在（0，2）上为减函数，答案为C2 若，都是奇函数，在（0，）上有最大值5，则在（，0）上有（）A最小值5B最大值5 C最小值1D最大值3提示：、为奇函数，为奇函数又有最大值5，2在（0，）上有最大值32在上有最小值3，在上有最小值1答案为C3定义在R上的奇函数在（0，+）上是增函数，又，则不等式的解集为（A）A（3，0）（0，3） B（，3）（3，+）C（3，0）（3，+）D（，3）（0，3）提示：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解答案为A4.已知函数是偶函数，在0，2上是单调减函数，则（A）A. B. C. D. 提示：由f（x2）在0，2上单调递减，在2，0上单调递减.是偶函数，在0，2上单调递增. 又，故应选A.5已知奇函数，当（0，1）时，lg，那么当（1，0）时，的表达式是提示：当（1，0）时，（0，1），6已知是奇函数，则= 2008提示： ，解得：，经检验适合，7若是偶函数，当0，+)时，则的解集是提示：偶函数的图象关于y轴对称，先作出的图象，由图可知的解集为，的解集为.8试判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）解：（1）函数的定义域为R，故为偶函数（2）由得：，定义域为，关于原点对称，故为奇函数（3）函数的定义域为(-，0)(0，1)(1，+)，它不关于原点对称，故函数既非奇函数，又非偶函数9已知函数对一切，都有，若，用表示解：显然的定义域是，它关于原点对