《数字特征》教案.pptx

第四章,数字特征,引言,一、数学期望问题：随机变量的均值应如何定义？例如，甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表：,评价这两射手的水平？,解：现求在这十次射击中，平均击中的环数：,结果：甲平均击中的环数9.3,乙平均击中的环数9.1,甲水平较高。根据概率的统计定义作分析：击中次数Ni与N的比值，是这N次试验中射中环数的频率，按概率的统计定义，当N很大时,Ni/N接近于射中环数的概率。,1.离散型随机变量的数学期望(1)定义设离散型随机变量X的分布律为PX=xk=pk，k=1,2,若级数绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即,注释(1)X的期望E(X)是一个数，它形式上是X的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X取值的真正平均，为此我们又称它为X的均值。因为它完全由X的分布所决定，所以又称为分布的平均值。,(2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。例1:设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？,解:设X表示一件产品的利润（单位元），X是随机变量，且X的分布律为,依题意，所要求的是X的数学期望E(X)=100.6+00.3+(-15)0.1=4.5(元),例2:在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行。(1)将每个人的血都分别去验，这就需验N次，(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次，若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验，这样，这k个人的血总共要化验k+1次。假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明k取什么值时最适宜。,解:各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p。因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk，k个人的混合血呈阳性反应的概率为1-qk。设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为X，则X是一个随机变量，其分布律为,X的数学期望为:,即N个人平均需化验的次数为:N1-qk+(1/k)。,由此可知，只要选择k使:1-qk+(1/k)0，常数)，求的数学期望。,解:由公式有,例7:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试求XY的数学期望。解:由公式得,注对任意的随机变量，其数学期望不一定存在。例如(1)随机变量X的取值为,易验证满足分布律的两个条件，但,发散。所以E(X)不存在。,(2)随机变量X的概率密度为(柯西分布)。,所以E(X)不存在。,三、数学期望的性质数学期望具有以下几条重要性质(设以下所遇到的随机变量的期望是存在的)：(1)C为常数,则有E(C)=C；(2)设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)；(3)设X，Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况:,(4)设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况,(5)若X0,则E(X)0.由此性质可推得下面性质:若XY,则E(X)E(Y)；|E(X)|E(|X|).,证：只对连续型随机变量证明(3)和(4)。设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，其边缘概率密度为fX(x)，fY(y)。因为,(3)得证。又若X和Y相互独立，此时f(x,y)=fX(x)fY(y),故有,第二节方差,例:甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表：,问哪一个选手技术较好？,解：E(X)=9.0；E(Y)=9.0.但直观上，他们射击的水平有差异，甲较稳定，相对与E(X)的偏离较小，所以甲的技术较好。需要刻划随机变量在其中心位置附近分散程度的大小这一特征，其中最重要的是方差。,二、方差的定义1定义设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即:D(X)=EX-E(X)2。注释：(1)方差是随机变量X与其“中心”E(X)的偏差平方的平均。它表达了X的取值与其期望值E(X)的偏离程度。若X取值较集中，则D(X)较小，反之，若取值较分散，则D(X)较大。(2)应用上，常用量，称为标准差或均方差，记为(X)=。,(3)对任意的随机变量D(X)不一定存在，例如(Cauchy分布)，因为E(X)不存在,所以D(X)不存在。,2.方差的计算公式,(2)D(X)=E(X2)-E(X)2证明：D(X)=EX-E(X)2=E(X2-2XE(X)+E(X)2),=E(X2)-2E(X)E(X)+E(X)2,=E(X2)-E(X)2。,例1甲、乙两射手的例中，,例2随机变量X的概率密度为求E(X)，D(X)。,3方差的性质假定以下所遇到的随机变量的方差存在:(1)设C是常数，则D(C)=0；(2)设X是随机变量，a是常数，则D(aX)=a2D(X),从而D(aX+b)=a2D(X)；(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(XY)=D(X)+D(Y)；证:D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2=E(X-E(X)+(Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+2EX-E(X)Y-E(Y),由于X，Y相互独立，XE(X)与YE(Y)也相互独立，由数学期望的性质，2EX-E(X)Y-E(Y)=2EX-E(X)EY-E(Y)=0于是得D(X+Y)=D(X)+D(Y).这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况。,(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C，即:PX=C=1.显然，这里C=E(X)。,例3若X,Y为相互独立的连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y),则,4方差的一个定理（切比雪夫不等式）定理设随机变量X的期望和方差都存在，且E(X)=,D(X)=2，则对任意的0,有,证：只对连续型情况给出证明。设X的概率密度为f(x)，则有,意义：(1)切比雪夫不等式也可改写成如下的形式,(2)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件|x-|的概率的一种估计方法。例如:,(3)切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-,E(X)+)之内。,例1设随机变量X的概率密度为(x),且存在，证明：,证：用证明切比雪夫不等式的方法，有,例2设随机变量X的概率密度为，m为自然数，证明:,5几种重要随机变量的数学期望和方差(一)设随机变量X具有(0-1)分布，其分布律为PX=0=1-p，PX=1=p,则D(X)=p(1-p)。证:E(X)=0(1-p)+1p=p,E(X2)=02(1-p)+12p=p，D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)。,由切比雪夫不等式：,(二)二项分布设Xb(n,p),，其分布律为,证：令Xi服从参数为P的(0-1)分布，i=1，2，n，且X1，X2，Xn相互独立,则X1+X2+Xnb(n,p)，于是E(X)=E(X1+X2+Xn)=np,D(X)=D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)=np(1-p)=npq.将X表示成n个随机变量之和，可将方差的计算简化。这是计算方差的一个技巧。,则E(X)=np,D(X)=npq。,(二)泊松分布设若X(),其分布律为则E(X)=,D(X)=。,所以方差为D(X)=E(X2)-E(X)2=.泊松分布只含一个参数，因而只要知道它的数学期望或方差就能完全确定它的分布。,(三)均匀分布设X在区间(a，b)上服从均匀