2020年高考数学二轮复习大题专项练03立体几何（含答案）.doc

2020年高考数学二轮复习大题专项练03立体几何如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,若PDA=45,(1)求证:MN平面PAD;(2)求证:MN平面PCD.如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,E为PA的中点,BAD=60.(1)求证:PC平面EBD;(2)求三棱锥PEDC的体积.如图,已知AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,SO=23,AB=4,P是母线SA的中点,C是底面圆周上一点,AOC=60.(1)求圆锥的侧面积;(2)求直线PC与底面所成的角的大小.在如图所示的几何体中,平面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,ABCD,AC=3,AB=2BC=2,ACFB.(1)求证:AC平面FBC;(2)求四面体FBCD的体积;(3)线段AC上是否存在点M,使EA平面FDM?证明你的结论.如图,在RtABC中,AB=BC=3,点E,F分别在线段AB,AC上,且EFBC,将AEF沿EF折起到PEF的位置,使得二面角PEFB的大小为60.(1)求证:EFPB;(2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时,求四棱锥PEBCF的侧面积.如图所示,在四棱锥PABCD中,平面PAB平面ABCD,ADBC,AD=2BC,DAB=ABP=90.(1)求证:AD平面PAB;(2)求证:ABPC;(3)若点E在棱PD上,且CE平面PAB,求的值.已知空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均为边长为2的等边三角形,ABC为腰长为3的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线,使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行,并给出详细证明;(2)求三棱锥EABC的体积.如图,在PBE中,ABPE,D是AE的中点,C是线段BE上的一点,且AC=5,AB=AP=AE=2,将PBA沿AB折起使得二面角PABE是直二面角.(1)求证:CD平面PAB;(2)求三棱锥EPAC的体积.参考答案证明:(1)如图,取PD的中点E,连接AE,NE.因为E,N分别为PD,PC的中点,所以EN12CD,又M为AB的中点,ABCD,所以AM12CD,所以ENAM,所以四边形AMNE为平行四边形.所以MNAE,又AE平面PAD,MN平面PAD,所以MN平面PAD.(2)因为PA平面ABCD,PDA=45,所以PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点,所以AEPD,可证得CDPA,又因为CDAD,ADPA=A,所以CD平面PAD,因为AE平面PAD,所以CDAE,又CDPD=D,所以AE平面PCD,又MNAE,所以MN平面PCD.解答：(1)证明:设AC与BD相交于点O,连接OE.由题意知,底面ABCD是菱形,则O为AC的中点,又E为AP的中点,所以OECP,因为OE平面BDE,PC平面BDE,所以PC平面BDE.(2)解:因为E为PA的中点,所以SPCE=12SPAC=1212232=3,因为四边形ABCD是菱形,所以ACBD,又因为PA平面ABCD,所以PABD,又PAAC=A,所以DO平面PAC,即DO是三棱锥DPCE的高,DO=1,则VPCDE=VDPCE=1331=.解:(1)因为AB是圆锥SO的底面直径,O是底面圆心,SO=23,AB=4,所以底面半径r=AB2=2,母线长l=SA=AO2+SO2=4,所以圆锥的侧面积S=rl=24=8.(2)过点P作PEAB,交AO于E,由已知得PE圆锥底面,连接CE,则CE为PC在底面上的射影,所以PCE是直线PC与底面所成的角.由于OA=OC,AOC=60,所以CEAO.在RtPEC中,PE=12SO=3,CE=22-12=3.所以PCE=,所以直线PC与底面所成的角为.解答：(1)证明:在ABC中,因为AC=,AB=2,BC=1,所以AC2+BC2=AB2.所以ACBC.又因为ACFB,FBBC=B,所以AC平面FBC.(2)解:因为AC平面FBC,所以ACFC.因为CDFC,且CDAC=C,所以FC平面ABCD.在RtACB中,BC=12AB,所以CAB=30,所以在等腰梯形ABCD中可得ABD=CDB=CBD=30,所以CB=DC=1,BCD=120,所以FC=1.所以BCD的面积S=1212sin 120=.所以四面体FBCD的体积为VFBCD=13SFC=312.(3)解:线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA平面FDM,证明如下:连接CE与DF交于点N,取AC中点M,连接MN,DM,FM.由于平面CDEF为正方形,所以N为CE中点.所以EAMN.因为MN平面FDM,EA平面FDM,所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA平面FDM成立.解答：(1)证明:因为AB=BC=3,所以BCAB,又EFBC,所以EFAB,从而EFPE,EFBE,又PEBE=E,所以EF平面PBE,又PB平面PBE,所以EFPB.(2)解:因为EFPE,EFBE,所以PEB为二面角PEFB的平面角,即PEB=60,又E为AB的靠近B点的三等分点,AB=3,所以PE=2,BE=1,在PBE中,由余弦定理得PB=4+1-22112=,由于PB2+EB2=PE2,所以PBEB,PB,BC,BE两两垂直,又EFPE,EFBE,所以PBE,PBC,PEF均为直角三角形,又EFBC=AEAB=23,所以EF=2,所以SPBC=12BCPB=332,SPBE=12PBBE=,SPEF=12EFPE=2,在四边形BCFE中,过点F作BC的垂线,垂足为H,则FC2=FH2+HC2=12+12=2,所以FC=2.又PF=PE2+EF2=22,PC=PB2+BC2=23,所以cos PFC=-14,故为sin PFC=154,所以SPFC=12PFFCsin PFC=152,所以四棱锥的侧面积为SPBC+SPBE+SPEF+SPFC=2+2+152.解法：(1)证明:因为DAB=90,所以ADAB.因为平面PAB平面ABCD.且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB.(2)证明:由已知得ADAB,因为ADBC,所以BCAB.又因为ABP=90,所以PBAB.因为PBBC=B,所以AB平面PBC,所以ABPC.(3)解:过E作EFAD交PA于F,连接BF.因为ADBC,所以EFBC.所以E,F,B,C四点共面,又因为CE平面PAB,且CE平面BCEF,平面BCEF平面PAB=BF,所以CEBF,所以四边形BCEF为平行四边形,所以EF=BC.在PAD中,因为EFAD,所以=12.即=.解:(1)因为平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.所以过E作EQ平面BCD,交CD于Q,过A作AP平面BCD,交BC 于P,所以EQAP,过Q作QOBC,交BD于O,连接EO,则直线OQ就是在平面BCD内所求的直线,使得直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.证明如下:因为EQAP,QOBC,EQQO=Q,APBC=P,EQ,QO平面EQO,AP,BC平面ABC,所以平面EQO平面ABC,所以直线OQ上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)因为BCD与CDE均为边长为2的等边三角形,ABC为腰长为3的等腰三角形,所以AP=32-12=2,所以SABC=12222=22,由(1)知平面EQO平面ABC,所以E到平面ABC的距离为OQ中点到平面ABC的距离,所以,点E到平面ABC的距离d=12DP=1222-12=,所以三棱锥EABC的体积VEABC=13dSABC=1322=.解答：(1)证明:因为12AE=2,所以AE=4,又AB=2,ABAE,所以BE=AB2+AE2=22+42=2,又因为AC=5=12BE,所以AC是RtABE的斜边BE上的中线,所以C是BE的中点