晶体的宏观对称性

2.宏观对称性的数学描述。晶体对称性可分为宏观对称性和微观对称性。前者指晶体外观的对称性，而后者指晶体微结构的对称性。在这一部分，我们主要研究晶体的宏观对称性。1。宏观对称元素，4。组/对称操作组5。宏观对称性和物理性质，3。三个几何体的对称运算，1-5晶体的宏观对称性，晶体的对称性，晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。晶体形状有一个有限的尺寸，所有对称元素必须在晶体内部的某一点相交。因此，宏观对称也被称为点对称。(第1.5节，1.6节)晶体中原子排列的对称性称为微观对称性，即晶体中原子无限排列所具有的对称性。(第1.7节)晶体的宏观对称性是微观对称性的外在表现，而晶体的微观对称性是宏观对称性的基础。对称是指物体相同部分的规则重复。恢复图形而不改变对象/图形中任意两点之间的距离的操作称为对称操作。对称运算所基于的几何特征称为对称元素。旋转轴和旋转操作：将一个物体绕着通过其中心的轴旋转一定角度以恢复该物体的操作。可以恢复对象的最小旋转角度(除0)称为参考角度。旋转一周后物体恢复的次数称为旋转轴的轴数n，n=360/；旋转轴的符号是cn；晶体中只存在C2、C3、C4和C6旋转轴。晶体中可能有一个或多个旋转轴。镜像和反射操作：通过物体中心的一个假想平面，物体被分成两个相等的部分进行镜像反射，称为反射操作；反射操作所依赖的平面称为反射平面或反射镜；晶体中可能存在一个或多个反射镜。对称中心和反转操作：如果对象中有一个点，那么对象中的任何一点都将一条线引向该点，并以相反的方向延伸相等的距离来恢复对象，那么这个操作就是反转，这个点称为反转中心1。晶体中最多只能有一个对称中心。旋转反转对称轴并不都是独立的基本对称元素。例如：反轴和旋转反转操作：这是一个复合操作，即旋转和反转的乘积。反向轴被写入。正四面体既没有四度轴，也没有理想的逆轴和旋转逆运算：这是一个复合运算，即旋转和逆的乘积。反向轴被写入。常量元素e和常量操作：即一个对象不移动的操作。1，2，3，4，6度旋转对称运算。1，2，3，4，6度旋转反转对称运算。(3)中心反转：i. (4)镜像反射：m .C1，C2，C3，C4，C6(以熊福力符号为代表)，S1，S2，S3，S4，S6(以熊福力符号为代表)，点对称运算：(2)旋转反转对称运算：(1)旋转对称运算：有8个独立的对称运算，即1，2，3，4，6，I，m，或C1、C2、C3、C4、C6、Ci、Cs、S4。立方对称，(1)立方轴C4:3立方轴；4个3度轴；(2)身体对角线C3:(3)平面对角线C2: 6个2度轴；各种对称运算都等价于坐标变换。坐标变换矩阵可用于表示几何变换，即对称运算将图形的形状和大小保持不变的正交变换。总结晶体宏观对称性的方法是检验晶体在正交变换下的不变性。在三维变换的情况下，正交变换的表示是，其中矩阵是正交矩阵，宏观对称性的数学描述，围绕Z轴角的正交矩阵的行列式等于1，用于中心反转的正交矩阵的行列式等于-1，空间旋转加上中心反转的行列式等于-1，对称运算：在某个正交变换下对象保持不变的运算， 例1:立方体的对称运算，1)围绕三个立方体轴的旋转，333，549对称运算，一个对象的对称运算越多，它的对称性就越高，有6个对称运算，2)围绕6个平面对角线轴的旋转，333，548个对称运算，3)围绕4个立方体对角线轴的旋转，4)静止运算，个立方体有48个对称运算，5)超过24个对称运算加上中心反转仍然是对称运算，例2正四面体的对称运算， 四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称运算包括在立方体运算中，1)绕三个立方轴旋转，有三个对称运算，8个对称运算，2)绕立方体的四个对角线轴旋转，3)不操作，1对称运算，注意：立方轴、体对角线和面对角线都是参照以立方体体中心为原点的坐标系讨论的。 4)围绕三个立方轴旋转，加上中心反转，6次对称运算，24次正四面体对称运算，包含在立方体中。 例3正六边形柱的对称操作，1)围绕中心轴旋转，333，545，333，543，3)围绕相对面的中心线旋转，333，543，4)恒定操作，5)以上12个对称操作加上中心反转仍然是对称操作，个正六边形柱的24个对称操作，2)围绕相对边的中心线旋转，333，541，对称元素，对称元素：指物体的旋转轴或旋转反转轴，其N重旋转轴：当一个物体绕某一旋转轴旋转2/n，且其倍数不变时，该轴称为N重旋转轴，表示为N。N重旋转轴-反转轴：当一个物体绕某一旋转轴旋转2/n，加上中心反转的联合操作，且其联合操作的倍数不变时，该轴称为N重旋转轴，记录为。例1:立方体，立方体轴是4重轴，计为4，并且也是4重旋转-反转轴，计为，并且也是2重旋转-反转轴，计为，身体对角线轴是3重轴，计为3，并且也是3重旋转-反转轴，计为，例2:正四面体，身体对角线轴是3重轴，而不是3重旋转-反转轴， 立方轴是一个4倍的旋转-反转轴不是一个4倍的轴，并且平面对角线是一个2倍的旋转-反转轴不是一个2倍的轴，一个特殊的对称元素：首先围绕轴旋转，然后执行中心反转，点a”实际上是通过垂直于旋转轴的中心的平面m中的点a的镜像，即对称元素实际上是镜像操作，由表示。 一个对象的所有对称运算的集合构成一个对称运算群，一个对称运算群，一个群：一个表示一组“元素”的集合，例如e，a，b，c，d.这些“元素”被赋予一定的“乘法规则”,并满足以下性质：1)集合g中任意两个元素的“乘积”仍然是集合中的元素；如果a，BG，ab=CG。这被称为群体亲密度；2)存在单位元素E，使得所有元素满足：AE=A，3)对于任何元素A，存在逆元素A-1，包括：AA-1=E，4)元素之间的“乘法运算”满足组合法则：A(BC)=(AB)C，示例1:正实数组的所有正实数(除0之外)的集合，示例2:整数组的所有整数的集合，注意：对象的所有对称运算的集合满足上述组的定义，并且，以普通乘法为算法，1为单位元素，x的倒数为1/x，以加法为算法。一个对象的所有对称操作的集合，形成一个对称操作组。1.单元元件不工作，2。任何元素的逆元素以旋转角度旋转，其逆运算是旋转角度-；中心反演的逆运算仍然是中心反演。3.连续的A和B操作相当于C操作，A操作绕着0A轴/2旋转，B操作绕着0C轴/2旋转，S，S和O在上述操作中不移动，而T点旋转到T点相当于一个操作C:绕着操作系统轴旋转2/3，S和O在上述操作中不移动。然而，将T点转到T点相当于操作C:绕操作系统轴转2/3，表示为组的接近度。可以证明满足约束定律S，1。众所周知，氯化钠是一种立方晶体，室温下的相对分子质量为58.46，密度为2.167103 GM-3。尝试计算氯化钠结构的晶格常数。2.硅和锗半导体材料具有晶格常数为的金刚石结构。画出(110)平面二维晶格的本原胞，并给出其基矢。对于具有六边形密堆积结构的晶体，原始细胞基向量是试验溶液1。倒格基向量；2.晶面簇的平面间距(210)。4.对于立方晶格，米勒指数为(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的两个平面之间的夹角的余弦为、1氯化钠被称为立方晶体，在室温下相对分子质量为58.46，密度为2.167103 km2-3。试计算氯化钠结构的晶格常数。溶液固体密度=Zm/V，其中V是晶胞体积，Z是晶胞中的分子数，M是分子的质量。每个分子的质量m是，从而获得宏观对称性和物理性质，晶体在几何形状上表现出明显的对称性，对称性也反映在物理性质上。对于立方对称晶体，介电常数表示为二阶张量，电位移表示为对角张量。因此，介电常数可以看作是一个简单的标量。例如，证明了立方对称晶体的介电系数是标量常数，设置了对应于对称运算的正交变换，坐标变换下的介电常数为。例如，证明立方对称晶体的介电系数是一个标量常数，设置对应于对称运算的正交变换，有，介电常数，坐标变换下的，a是对称变换，X，Y，90逆时针绕z轴，为立方晶体，对称运算a选择为绕z轴的旋转/2，代换，进一步对称运算b选择为绕X轴的旋转/2，从而得到，最后得到， 对于N阶张量形式