简单的线性规划问题

7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的.我们把直线画成虚线以表示区域边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应边界直线，则把边界直线画成.(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.,1.二元一次不等式表示的平面区域,知识梳理,平面区域,不包括,实线,包括,符号,相同,2.线性规划相关概念,一次,最大值,最小值,一次,线性约束条件,可行解,最大值,最小值,最大值,最小值,画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.,3.重要结论,1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.(),(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.()(5)线性目标函数的最优解是唯一的.()(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.()(7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.(),1.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是A.(0,0)B.(1,1)C.(1,3)D.(2，3),考点自测,答案,解析,答案,解析,A.0B.3C.4D.5,答案,解析,几何画板展示,答案,解析,由2(2)3t60，,4.若点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_.,5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).,答案,解析,用表格列出各数据,所以不难看出，x0，y0,200 x300y1400,200 x100y900.,题型分类深度剖析,例1(1)不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的,题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域,命题点1不含参数的平面区域问题,答案,解析,答案,解析,命题点2含参数的平面区域问题,答案,解析,又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.,答案,解析,几何画板展示,不等式组表示的平面区域如图所示.,思维升华,(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.,答案,解析,直线ykx1过定点M(0，1)，由图可知，当直线ykx1经过直线yx1与直线xy3的交点C(1,2)时，k最小，,A.1B.1C.0D.2,答案,解析,题型二求目标函数的最值问题,命题点1求线性目标函数的最值,答案,解析,命题点2求非线性目标函数的最值,解答,几何画板展示,如图中阴影部分所示.,z的取值范围是2，).,(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.,解答,zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.,z的取值范围是1,5.,引申探究,解答,2.若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值.,解答,命题点3求参数值或取值范围,5,答案,解析,显然，当m2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A(1,1).此时zmin1101.显然都不符合题意.,平面区域为一个三角形区域，,由图可知，当直线yxz经过点C时，z取得最小值，,答案,解析,作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).,思维升华,(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，,(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.,答案,解析,平移直线zxy，易知当直线zxy经过点C(0,3)时，目标函数zxy取得最小值，即zmin3.,答案,解析,题型三线性规划的实际应用问题,例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；,解答,(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？,解答,目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，,最优解为A(50,50)，此时max550元.故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.,思维升华,解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.,答案,解析,如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时，xmaxab13.,含参数的线性规划问题,现场纠错系列8,(1)含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答.(2)目标函数含参的线性规划问题，要根据z的几何意义确定最优解，切忌搞错符号.,错解展示,典例(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_.(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.,现场纠错,纠错心得,解析(1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2x，当k2时，不等式组表示一个三角形区域.(2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点A(1,1)处取到最大值4，a14，a3.答案(1)(，1)(0,2)(2，)(2)3,返回,解析(1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域.,(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.,zaxy等价于yaxz，因为z的最大值为4，,即直线yaxz的纵截距最大为4.若zaxy在A(1,1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线yaxz过点(2,0)且a0时符合题意，4a20，即a2.答案(1)(，1)(2)2,返回,课时作业,1.已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为A.(24,7)B.(7,24)C.(，7)(24，)D.(，24)(7，),答案,解析,由3(3)2(1)a342(6)a0，得(a7)(a24)0，7a24.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3.直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有,答案,解析,A.0个B.1个C.2个D.无数个,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k20时，要使zyax取得最大值的最优解不唯一，则a2；当a0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,画出可行域如图阴影部分所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,解析,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,15.某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z1600 x2400y.由题意，得x，y满足约束条件,1,2,3,4,5,6,