初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论-高等教育出版社初等数论试卷一一、 单项选择题：（1分/题20题=20分）设为实数，为的整数部分，则()；下列命题中不正确的是()整数的公因数中最大的称为最大公因数；整数的公倍数中最小的称为最小公倍数整数与它的绝对值有相同的倍数整数与它的绝对值有相同的约数设二元一次不定方程（其中是整数，且不全为零）有一整数解，则此方程的一切解可表为()下列各组数中不构成勾股数的是()，；，；，；，下列推导中不正确的是()模的一个简化剩余系是() 的充分必要条件是() 设，同余式的所有解为()或或或无解9、设f(x)=其中为f(x)的一个解，则:( )ABC D10则同余式：（ ）A有时大于p但不大于n; B可超过pC等于p D等于n 11若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( )A3 B11 C13 D23 12若雅可比符号，则 ( )AB;C;D13( ) A 4 B 3 C 2 D 114 模12的所有可能的指数为;( ) A1，2，4 B1，2，4，6，12 C1，2，3，4，6，12 D无法确定15 若模m的单根存在，下列数中，m可能等于: ( ) A 2 B 3 C 4 D 12 16对于模5，下列式子成立的是: ( ) A B C D 17下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;B 欧拉函数；C不超过x的质数的个数；D除数函数；18 若对模的指数是，0，0，则对模的指数是( )A B C D无法确定19，均为可乘函数，则( )A为可乘函数； B为可乘函数C为可乘函数； D为可乘函数20设为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A B C D二填空题：（每小题1分，共10分）21 3在45中的最高次n _；22 多元一次不定方程：，其中 ， ，N均为整数，有整数解的充分必要条件是_；23有理数，能表成纯循环小数的充分必要条件是_；24 设为一次同余式，的一个解，则它的所有解为_；25 威尔生（wilson）定理：_；26 勒让德符号=_；27 若，则是模的平方剩余的充分必要条件是_(欧拉判别条件)；28 在模的简化剩余系中，原根的个数是_；29 设，为模的一个原根，则模的一个原根为_；30 _。三简答题：（5分题4题20分）31命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。32“若，通过模的简化剩余系，则也通过模的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。33求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。34设为的标准分解式，记为的正因数的和，为的正因数的个数，则？ ？ 为什么？四计算题。（7分题4题28分）35 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。36 解同余方程组37解同余式11(mod125)38求模13的所有原根。五、证明题：（7分/题2题=14分）39、试证： ，（x，y）=1 y是偶数的整数解可写成： 这里，并且一为奇数，一为偶数。40、设a为正整数，试证： 其中表示展布在a的一切正因数上的和式。六、应用题：（8分）41、求30！中末尾0的个数。参考答案：一单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。 二填空题：2121；22；23；24；25！+1为素数；261；27；28；29与中的单数；3016三简答题：31答：命题正确。 而必为2的倍数。86页32正确证明见教材。33在摸的简化剩余系中与同余的数是数的平方剩余，故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。34 证明：若为可乘函数，则 分别令，它们为可乘函数，即得出。四计算题35解：因为，故原不定方程有解。 又原方程即 ，而易见方程有解 。所以原方程的一个解是所以，原方程的一切整数解是：（ ） t是整数36解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模567210有唯一解，分别解同余方程：，得， ，因此所给同余方程组的解是：即：37解：从同余方程， ， ， 是 得即 是所给方程的一个解，于是所解为： 解毕。38解： 为其质因数 ，故g为模13的原根的主要条件是： ， 用 g=1，2，12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根， 因为，故模13原根只有4个，即为所求。五、证明题：39证明：易验证所给的解为原方程的解，因y为偶数，原方程可化为： 但 而x,z=1，所以（，）=1 由书中引理，我们可假设 =， =b 显然b， (，b)=1， 于是 X=b， z=+ ，y=2 因子为奇数，所以，b一定是一为奇，一为偶，证毕40证明：假定 ，-， 为的所有正约数，那末 ，-，也是的所有正约数，于是 = 再因为在的完全剩余系中任一数的最大公约数 必定是 ，-， 中某一个数，而完全剩余系中与的最 大公约数为的数有 ，所以： = m 证毕六应用题：41解：5在30！中的最高次幂=+ =6+1+0=7 2在30！的最高次幂=+ =15+7+3+1+0=26 10=25，故 30！的末尾有7个零。初等数论模拟试题二一、单项选择题1、（C ）.A B C D 02、如果，则(D ).A B C D 3、如果，则=（C ）.A B C D 4、小于30的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果，则15（A ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=34687+5953468=5955+493595=4931+102493=1024+85102=851+1785=175,所以,(24871,3468)=17.2、 求24871,3468=?解：因为 （24871,3468）=17 所以 24871,3468= =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。3、求136,221,391=?解： 136,221,391=136,221,391 =1768,391 = =104391=40664.三、证明题1、 如果是两个整数,则存在唯一的整数对,使得,其中.证明 ：首先证明唯一性.设,是满足条件的另外整数对,即,.所以,即,.又由于,所以.如果,则等式不可能成立.因此,. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列,则整数应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数使.我们设,则有,. 2、 证明对于任意整数,数是整数. 证明： 因为=, 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从和有,即是整数. 3、 任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数证明： 因为 , =, 所以,-= 而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为 所以= 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即是8的倍数. 初等数论模拟试题三一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程有解.A B C D 2、不定方程（A ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程1、.解：因为（9，21）=3，所以有解； 化简得； 考虑，有， 所以原方程的特解为， 因此，所求的解是。 2、.解：因为 ,所以有解; 考虑,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因为（107，37）=1，所以有解； 考虑，有， 所以，原方程特解为=225，=-650， 所以通解为 4.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.5.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.初等数论模拟试题四一、选择题1、整数5874192能被( B )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被(C )整除.A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整数,则（A ）A B C T D 二、解同余式（组）（1）.解 因为(45,132)=321,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , . （2）解 因为(12,45)=315,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, ,.（3）.解 因为(111,321)=375,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , . （4）.解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式,得到.于是所求的解为（5）. (参考上题)三、证明题1、 如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,. 因为100(mod5), 所以我们得到 所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 2、证明当是奇数时，有.证明 因为,所以. 于是,当是奇数时,我们可以令.从而有, 即. 初等数论模拟试题四一、计算：1、 判断同余式是否有解？(答：无解。方法参照题2)2、判断同余式是否有解？解 我们容易知道1847是素数,所以只需求的值.如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解. 因为,所以 .再,所以 , 所以, =1. 于是所给的同余式有解. 3、 11的平方剩余与平方非剩余.解 因为,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 又因为 , 所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余. 4、 计算,其中563是素数., 即429是563的平方剩余. 5、计算（计算方法参照题4）二、证明题：1、 证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.证明 因为, 所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 2、 证明形如的整数不能写成两个平方数的和.证明 设是正数,并且, 如果, 则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, 而这与的假设不符, 即定理的结论成立. 3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）证明 （1）设,则显然. （2）如果,那么 = =. 3、 素数写成两个平方数和的方法是唯一的.证明 设,则 =.所以 . 如果,那么,将其代入前面的表达式,则有 .所以,即.于是,即必有,.如果,那么,我们将其代入前面的表达式后与上面的方法一致,可以得到.于是,即必有,所以 初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果，则( ).A B C D 2、如果，则15（ ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定3、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定4、如果,是任意整数,则A B C T D 5、如果( ),则不定方程有解.A B C D 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.2、同余式有解的充分必要条件是( ).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果是两个正整数,则存在( )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、求136,221,391=?2、求解不定方程.3、解同余式.4、求,其中563是素数. （8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数,数是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式有解的充分必要条件是().3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( ).4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( 与互素 ).5、的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在( 唯一 )整数,使,.三、计算题(每题8分，共32分)1、 求136,221,391=?（8分）解 136,221,391=136,221,391 =1768,391 -(4分) = =104391=40664. -（4分）2、求解不定方程.（8分） 解：因为（9，21）=3，所以有解； -（2分） 化简得； -（1分）考虑，有， -（2分）所以原方程的特解为， -（1分）因此，所求的解是。 -（2分）3、解同余式. （8分）解