分类讨论初探.ppt

镇江市网络同步助学平台,专家系列讲座,九年级数学,同学们,当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点击播放键.,数学复习专题-分类讨论,单位镇江实验学校,主讲徐心敏,课题,审稿镇江市教研室黄厚忠庄志红,学习目标,概念介绍,典型例题,及时反馈,1、了解“分类讨论”的基本思想，会用“分类讨论”思想解决简单的数学问题,学习目标,2、体会分类的标准要统一、分类要做到不重不漏；以及分类的类型，进一步培养思维的灵活性与严谨性。,学习目标,导入语,当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的中考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性。,分类讨论的概念分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。“物以类聚，人以群分”。将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。,知识介绍,知识介绍,典型例题1,一、根据某些数学概念的定义进行分类,已知O的半径为5cm,点P是O外一点,OP=8cm，以P为圆心作P与O相切，则P的半径是多少？,分析：根据圆与圆的位置关系知道，两圆相切时分外切和内切，因此我们要分这两种情况去求P的半径,例题研析,已知：O的半径为5cm，点P是O外一点，OP=8cm，以P为圆心作P与O相切，则P的半径是多少？,例题研析,M,外切时P的半径为3cm,内切时P的半径为13cm,变式：O的半径为5cm，点P是O内一点，OP=3cm，以P为圆心作P与O相内切，则P的半径是多少？,例题研析,P切在O内时P的半径为2cm,O切在P内时P的半径为8cm,内切也要分两种情况哦,误点：有同学做出的答案是2cm，对吗？,及时反馈1,及时反馈1,1、已知a是有理数，那么|a|与a的关系是。,分析：绝对值概念是一种需要进行简单的分类讨论的概念（1）当a为正有理数或零时，|a|=a；（2）当a为负有理数，即a0，|a|=-aa,|a|a,2、已知O1与O2相内切，若O1O2=3，O1的半径为7，则O2的半径为。,4或10,（1）当O2内切在O1里面时，如图,所以O2的半径为4,(2)当O1内切在O2里面时，如图,所以O2的半径为10,要分两种位置讨论哦！,二、根据字母的不同取值进行分类,当m=时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x0）是一个一次函数。,点评：通过对含有一个字母系数、次数不超过二次的一元整式方程求解，体会分类讨论的思想方法，会解这类方程。,提醒：以后要记住分类哦,例题研析,分析：（m+5）x2m-1可能是一次项或常数项，也可能m+5=0，因此，分三种情况讨论：（1）2m-1=1；m=1（2）2m-1=0；m=（3）m+5=0；m=-5,1、5,典型例题2,有同学的答案是1,及时反馈2,及时反馈2,1、若关于x的方程kx2-6x+9=0有实数根，则k的取值范围是.,分析：此题只说方程有实数根，所以此方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程。因此要分K=0和K0进行分类讨论得出答案。,K1,2、解关于x的方程（m+n)x2+(4m-2n)x+n-5m=0(mn0),分析：此方程的二次项系数中含有字母，需分m+n=0和m+n0两种情况进行讨论,解：（1）当m+n=0且m0,n0时，原方程可变为（4m-2n)x+n-5m=0,x=(2)当m+n0时，a=m+n,b=4m-2n,c=n-5mb2-4ac=(4m-2n)2-4(m+n)(n-5m)=36m20,x1=1,x2=,三、根据某些定理或公式的限制条件进行分类,已知：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角为,分析：这个等腰三角形的高的位置可能在其内部或外部，这条高等于该三角形某一条边的长度的一半，某一条边又可分为底边或腰两种情况，所以要对高在三角形的内部或外部以及高是底边或腰的长度的一半进行分类讨论。,例题研析,典型例题3,已知：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角为,解1：当高BD在三角形内部且是腰AB的一半时在RTABD中，BD=ABA=30,例题研析,解2：当高BD在三角形外部且是腰AB的一半时在RTABD中，BD=ABDAB=30BAC=150,例题研析,解3：当高BD是底BC的一半时在RTCBD中，BD=BCC=30BAC=120,例题研析,三、根据某些定理或公式的限制条件进行分类,已知：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶为,点评：很多学生在做此题时，只考虑用锐角三角形，以后还要考虑钝角三角形。所以应根据对高的位置以及对一条边是腰还是底进行讨论，最后得出顶角的度数,你做对了吗？,例题研析,30、120或150,及时反馈3,及时反馈3,解：当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于10=5当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于8=4,4或5,解：如图1，当ABC是锐角三角形时，BCA=90-25=65,如图2，当ABC是钝角三角时，BCA=90+25=115,65或115,点评：这是一道非常容易出错的题目，很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解，一些难度并不很大的题目频频出错，很多时候就是由于缺乏分类思想。,四、根据运算性质的适用范围或运算的特殊规定而分类,已知：（a-b）2006=1，（a+b）2007=-1，试求a2006+b2007的值,分析：由（a-b）2006=1，得a-b=1或-1；由（a+b）2007=-1，得a+b=-1因此要分两种情况进行求解：,所以a2006+b2007的值为1或1,例题研析,典型例题4,及时反馈4,及时反馈4,1、一组数据3、-1、0、2、x的极差是5，则x等于。2、化简：,4或-2,(1)当x4时，原式=x-4（2）当x4时，原式=4-x,根据极差计算公式分成两类讨论,根据二次根式化简的性质分取值范围进行讨论,你做对了吗？,五、根据图形的位置变化进行分类讨论,已知的半径为，弦，求和的距离。,分析：两平行弦的位置关系有两种:、在圆心O的同侧,、在圆心O的异侧.,有同学做出的答案是1，你认为对吗？,例题研析,典型例题5,已知的半径为，弦，求和的距离。,解：连接OA、OC，并过点O作OECD交CD、AB于点E、FOECDCE=DE=3又，OECDOFABAF=EF=4在RTOCE中，OC=5，CE=3OE=4同理OF=3EF=OE-OF=4-3=1即和的距离为1,例题研析,解：连接OA、OC，过点O作OECD交CD于点E，并延长EO交AB于点FOECDCE=DE=3又，OECDOFABAF=BF=4在RTOCE中，OC=5，CE=3OE=4同理OF=3EF=OE+OF=4+3=7即和的距离为7,例题研析,五、根据图形的位置变化进行分类讨论,已知的半径为，弦，求和的距离。,分析：两平行弦的位置关系有两种:、在圆心O的同侧,、在圆心O的异侧.,有同学做出的答案是1，你认为对吗？,例题研析,及时反馈5,及时反馈5,1、在O中，一条弦AB所对的圆心角是120，该弦所对的圆周角是多少度？,解：当圆周角的顶点C在优弧上时，ACB=AOB=60，,C,当圆周角的顶点C在劣弧上时，ACB=（360-AOB)=120,点评：以后求一条弦所对的圆周角，要想到两种位置进行讨论。,及时反馈5,2、已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm，则这两个圆的圆心距是。,解：（1)当相交两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图O102垂直平分公共弦ABAC=3,在RTACO1中，O1C=4同理O2C=所以O102=4+,（2）当相交两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图O102垂直平分公共弦ABAC=3,在RTACO1中，O1C=4同理O2C=所以O102=4-,4,同学们只熟悉异侧的位置，特别要记住同侧的位置哦！,及时反馈5,综上所述，符合条件的t的值为：,（1）动点T在原点左侧.当TO=OP时，PTO是等腰三角形.点T(-.,0),（2）动点T在原点右侧.当TO=PO时，PTO是等腰三角形.点T(,0),当TP=PO时，PTO是等腰三角形.点T（4，0）,当TO=TP时，PTO是等腰三角形.点T(,0),3、直角坐标系中，已知点P（2，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点.求:当t取何值时，PTO是等腰三角形？,归纳小结,归纳小结,1、分类讨论的原则分类的标准要统一；分类要做到不重不漏；逐类讨论，分级进行；最后归纳总结，得出答案。能不分类的要尽量回避，或尽量推迟，决不无原则地讨论.,2、分类讨论的方法（1）明确讨论