专题12-三大变换之旋转-教师版-01

专题12 三大变换之旋转 01一、选择题1. （2012广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【 】A B C D【答案】D。4. （2012湖北十堰3分）如图，O是正ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，下列结论：BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到；点O与O的距离为4；AOB=150；其中正确的结论是【 】A B C D 【答案】A。正ABC，AB=CB，ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO，BO=BO，OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接OO，BO=BO，OAO=600，OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中，三边长为OA=OC=5，OO=OB=4，OA=3，是一组勾股数，AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故结论正确。故结论错误。如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转60，使得AB与AC重合，点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形，COO是边长为3、4、5的直角三角形。则。故结论正确。综上所述，正确的结论为：。故选A。7. （2012贵州黔东南4分）点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90，得线段PE，连接BE，则CBE等于【 】 A75 B60 C45 D30【答案】C。8. （2012广西北海3分）如图，等边ABC的周长为6，半径是1的O从与AB相切于点D的位置出发，在ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则O自转了：【 】 A2周B3周C4周D5周【答案】C。二、填空题1. （2012福建厦门4分）如图，已知ABC90，ABr，BC，半径为r的O从点A出发，沿ABC方向滚动到点C时停止.请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是 . 【答案】2r。 2. （2012四川南充3分）如图，四边形ABCD中，BAD=BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD的面积是24cm2.则AC长是 cm. 【答案】4。3. （2012山东烟台3分）如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=2将ABC绕顶点A顺时针方向旋转至ABC的位置，B，A，C三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 【答案】。【分析】先根据RtABC中，C=90，A=30，AB=2求出BC及AC的长，再根据线段BC扫过的区域面积为：S阴影=AB扫过的扇形面积ABC面积AC扫过的扇形面积ABC面积=AB扫过的扇形面积AC扫过的扇形面积。RtABC中，C=90，A=30，AB=2，。B，A，C三点共线，BAB=150。S阴影= AB扫过的扇形面积ABC面积BC扫过的扇形面积。4. （2012广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为 .【答案】（4，）。5. （2012广西钦州3分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把AOB绕点A旋转90后得到AOB，则点B的坐标是 【答案】（1，2）或（5，2）。【分析】当y=0时，解得x=2；当x=0时，y=3。点A（2，0），B（0，3）。OA=2，OB=3，根据旋转不变性可得AOBAOB，AO=OA=2，OB=OB=3，如果AOB是逆时针旋转90，则点B（1，2），如果AOB是顺时针旋转90，则点B（5，2）。综上，点B的坐标是（1，2）或（5，2）。 6. （2012江西南昌3分）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是 【答案】15或165。【分析】 当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，AB=AD，AE=AF。当BE=DF时，在ABE和ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，ABEADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAE+FAD=30。BAE=FAD=15。当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于1800时，如图2，同上可得ABEADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAF=DAE。900600BAFDAE=3600，BAF=DAE=105。BAE=FAD=165。当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于1800时，如图3，同上可得ABEADF（SSS）。BAE=FAD。EAF=60，BAE=90，90DAE=60DAE，这是不可能的。此时不存在BE=DF的情况。综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，BAE的大小可以是15或165。7. （2012吉林省3分）如图，在等边ABC中，D是边AC上一点，连接BD将BCD绕点B逆时针旋转60得到BAE，连接ED若BC=10，BD=9，则AED的周长是_ _.【答案】19。8.（2012广西梧州3分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，以D为旋转中心，顺时针旋转180后停止，矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积是 【答案】。三、解答题2. （2012福建南平12分）在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m0），将此矩形绕O点逆时针旋转90，得到矩形OABC（1）写出点A、A、C的坐标；（2）设过点A、A、C的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值 【答案】解：（1）四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（m，1）（m0），A（m，0），C（0，1）。矩形OABC由矩形OABC旋转90而成，A（0，m），C（1，0）。（2）设过点A、A、C的抛物线解析式为y=ax2bxc，A（m，0），A（0，m），C（1，0），解得。此抛物线的解析式为：y=x2（m1）xm。（3）点B与点D关于原点对称，B（m，1），点D的坐标为：（m，1），假设点D（m，1）在（2）中的抛物线上，0=（m）2（m1）（m）m=1，即2m22m1=0，=（2）2422=40，此方程无解。点D不在（2）中的抛物线上。3. （2012湖北天门）ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作MDN=B （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE相似的三角形（2）如图（2），将MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求线段EF的长【答案】解：（1）图（1）中与ADE相似的有ABD，ACD，DCE。（2）BDFCEDDEF，证明如下：B+BDF+BFD=180，EDF+BDF+CDE=180，又EDF=B，BFD=CDE。AB=AC，B=C。BDFCED。BD=CD，即。又C=EDF，CEDDEF。BDFCEDDEF。 （3）连接AD，过D点作DGEF，DHBF，垂足分别为G，HAB=AC，D是BC的中点，ADBC，BD=BC=6。在RtABD中，AD2=AB2BD2，即AD2=10262，AD=8。SABC=BCAD=128=48，SDEF=SABC=48=12。又ADBD=ABDH，。BDFDEF，DFB=EFD。 DHBF，DGEF，DHF=DGF。又DF=DF，DHFDGF（AAS）。DH=DG=。SDEF=EFDG=EF=12，EF=5。4. （2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.（1）若GH交y轴于点M，则FOM ，OM= （2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。直线GH与x轴交于点D，若ADBO，求t的值；若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0t时，S与t之间的函数关系式。 【答案】解：（1）450；。（2）如图1，设直线HG与y轴交于点I。四边形OABC是矩形，ABDO，AB=OC。C（2，0），AB=OC=2。又ADBO， 四边形ABOD是平行四边形。DO=AB=2。 由（1）易得，DOI是等腰直角三角形，OI=OD=2。t=IM=OMOI=2。如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则由旋转的性质，得，OF=OA=4，FOR450，OR=RF=，F（，）。由旋转的性质和勾股定理，得OG=，设TG=MT=x，则OT=OMMT=。在RtOTG中，由勾股定理，得，解得x=。G（，）。用待定系数法求得直线FG的解析式为。当x=2时，。当t=时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。当0t时，几个关键点如图3，4，5所示： 如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；如图4，t=OE=OM=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O；如图5，t=OE=，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG经过点C。（I）当0t2时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为OCS的面积（如图6）。此时，OE=OS= t， 。（II）当2t时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为直角梯形OEPC的面积（如图7）。此时OE= t，OC=2。由E（0，t），FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为。当x=2时，。CP=。（III）当t时，矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为五边形EQCUV的面积（如图8），它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积。此时，OE= t，OC=2，CQ= ，OU=OV= t。综上所述，当0t时，S与t之间的函数关系式为。 5. (1)如图1，在ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=ABC(0CBEABC)。以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC，得到BEA（点C与点A重合，点E到点E处），连接DE。（1）求证：DE=DE. （2）如图2，在ABC中，BA=BC，ABC=90，D，E是AC边上的两点，且满足DBE=ABC(0CBE45).求证：DE2=AD2+EC2.:证明：（1）BEA是BEC按逆时针方向旋转ABC得到，BE=BE，EBA=EBC。DBE=ABC，ABDEBC =ABC。ABDEBA =ABC，即EBD=ABC。EBD=DBE。在EBD和EBD中，BE=BE，EBD=DBE，BD=BD，EBDEBD（SAS）。DE=DE。（2）以点B为旋转中心，将BEC按逆时针方向旋转ABC=90，得到BEA（点C与点A重合，点E到点E处），连接DE。由（1）知DE=DE。由旋转的性质，知EA=EC，E AB=ECB。又BA=BC，ABC=90，BAC=ACB=45。E AD=E ABBAC=90。在RtDEA中，DE2=AD2+EA2，DE2=AD2+EC2。6. （2012四川乐山12分）如图1，ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BDCF成立（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转（090）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长BD交CF于点G求证：BDCF；当AB=4，AD=时，求线段BG的长 【答案】解：（1）BD=CF成立。理由如下：ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，AB=AC，AD=AF，BAC=DAF=90。BAD=BACDAC，CAF=DAFDAC，BAD=CAF。在BAD和CAF中，AB=AC，BAD=CAF，BADCAF（SAS）。BD=CF。（2）证明：设BG交AC于点MBADCAF（已证），ABM=GCM。又BMA=CMG，BMACMG。BGC=BAC=90。BDCF。过点F作FNAC于点N。在正方形ADEF中，AD=DE=，。AN=FN=AE=1。在等腰直角ABC 中，AB=4，CN=ACAN=3，。在RtFCN中，。在RtABM中，。AM=。CM=ACAM=4，。BMACMG，即，CG=。在RtBGC中，。7.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABx轴于点B，AB=3，tanAOB=，将OAB绕着原点O逆时针旋转90，得到OA1B1；再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180，得到OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2（1）求抛物线的解析式（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】解：（1）ABx轴，AB=3，tanAOB=，OB=4。B（4，0），B1（0，4），A2（3，0）。抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点B、B1、A2，解得。抛物线的解析式为：。（2）点P是第三象限内抛物线上的一点，如图，过点P作PCx轴于点C设点P的坐标为（m，n），则m0，n0，。PC=|n|=，OC=|m|=m，BC=OBOC=|4|m|=4+m。当m=2时，PBB1的面积最大，这时，n=，即点P（2，）。（3）存在。假设在第三象限的抛物线上存在点Q（x0，y0），使点Q到线段BB1的距离为。如图，过点Q作QDBB1于点D，设Q（xQ，yQ），由（2）可知，此时QBB1的面积可以表示为：，在RtOBB1中，。，解得xQ=1或xQ=3。当xQ=1时，yQ=4；当xQ=3时，yQ=2。因此，在第三象限内，抛物线上存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为，这样的点Q的坐标是（1，4）或（3，2）。8. （2012四川德阳14分）在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BEDB交x轴于点E.求经过点D、B、E的抛物线的解析式；将DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由.过中的点F的直线交射线CB于点P，交中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使PFE为等腰三角形，求Q点的坐标. 【答案】解：（1）BEDB交x轴于点E，OABC是正方形，DBC=EBA。在BCD与BAE中，