导数题型专题总结

北京华罗庚学校为中国学生提供素质教育导数零问题导数是研究函数的有力工具，其核心是通过导数的正负值来确定函数的单调性。为了研究函数f(x)的单调性，通常需要求解方程F(x)=0。如果方程不容易求解，如何继续求解？猜测猜测方程f(x)=0的根设f (x)=。(1)如果函数f(x)在(a，a 1)上有极值，则现实数a的取值范围；(2)如果x的方程f (x)=x2-2x k具有实数解，则实数k的值范围应该是实际的。方法演示解：(1)因为f (x)=-，当00；当x1，f(x)0时，函数f(x)在(0，1)上单调增加，在(1，)上单调减少，所以函数f(x)的最大值是x=1，所以a10，当x1，g(x)0时，函数g(x)在(0，1)上单调增加，在(1，)上单调减少。因此g (x) max=g (1)=2。当x0时，g(x)-；当x ，g(x) -，所以函数g(x)的取值范围是(-，2)，所以实数k的取值范围是(-，2)。问题解决者说当ln x出现在所需的分辨率函数中时，通常会猜到X=1。当ex出现在分辨率函数中时，通常认为x=0或x=lnx。应用经验1.函数f (x)=ex x2-(2 ln2) x的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _。回答：2-2LN2-LN22分析：f(x)=ex x-(2 LN2)。接下来，需要求解需求函数f(x)的单调区间，因此需要求解不等式f(x)0和f(x)0，因此方程f(x)=0。但是这个方程不容易解，所以我们可以在解之前先猜一下。很容易知道F(x)是增函数，所以方程F(x)=0至多有一个实根，并且可以观察到这个实根是ln 2，所以函数f(x)是(-，ln 2)上的减函数和(ln 2，)上的增函数，因此f (x) min=f (ln2)=2-2ln2-ln22。让设置f(x)=0根典型示例 (2015年国家论文一)设置函数f (x)=e2x-alnx。(1)讨论f(x)的f(x)导数函数的零点个数；(2)证明：当a0，F (x) 2a AlN时。方法演示解决方案：(1)方法1: f (x)=2e2x-(x0)。当a0时，f(x)0，f(x)没有零点。当a0，设U (x)=E2x，V (x)=-，因为U (x)=E2x在(0，)上单调增加，V (x)=在(0，)上单调增加，所以f(x)在(0，)上单调增加。和f(a)0，当B满足00，f(x)有一个唯一的零点。方法2:f(x)=2E2x-(x0)。让方程F(x)=0，得到A=2X2x (x0)。由于函数G (x)=2x (x0)和H (x)=E2x (x0)都是具有正函数值的增函数，通过增加函数的定义可以证明函数U (x)=2X2x (x0)也是具有(0，)值域的增函数。因此，当a0时，F(x)没有零点；当a0，f(x)有一个唯一的零点。(2)证明了(0，)上f(x)的唯一零点可由(1)设定为x(0)。当x (0，x0)，f (x)0；当x(x0，)，f(x)0。因此，f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增。当且仅当x=x0时，f(x)获得最小值，即f (x0)。自2e2x0-=0，f (x0)=2ax0 AlN 2a AlN(基本不等式)。所以当a0，f (x) 2a AlN时。问题解决者说本主题问题(2)的解决方案是找到函数f(x)的最小值。因此，f(x)=0的根是必需的。然而，f (x)=2e2x-=0的根不能求解。因此，f(x)=0的根被设置为x0。通过证明f(x)在(0，x0)和(x0，)上的单调性，f (x) min=f (x0)=2ax0 AlN，其解类似于解析几何中的解。应用经验2.设f (x)=ex-ax-2。(1)找到f(x)的单调区间；(2)如果a=1，k是一个整数，当x0，(x-k) f (x) x 10时，求k的最大值。解：(1)f(x)的域是(-，)，f (x)=ex-a。如果a0，f(x)0，那么f(x)单调递增(-，)。如果a0，当x (-，ln a)，f (x)0；当x(ln a，)，f(x)0时，因此，f(x)在(-，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增。(2)因为a=1，(x-k) f (x) x 1=(x-k) (ex-1) x 1。所以当x0，(x-k) f (x) x 10等于k x (x0)。让g (x)=x，然后g (x)=1=。从(1)开始，函数h(x)=ex-x-2在(0，)上单调增加。而h(1)0，h(2)0，所以h (x)在(0，)上有唯一的零。因此，g(x)在(0，)上有唯一的零。如果这个零是， 1，2。当x (0，)，g (x)0；当x(，)，g(x)0。所以(0，)上g(x)的最小值是g ()。从g()=0，可以得到e = 2，因此g ()= 1 (2，3)。由于公式相当于kh(x0)，所以确定了实际数m的取值范围。方法演示解：(1)函数g(x)的定义域是(0，)，g (x)=-=。当x(0，1)，g (x)0；当x(1，)，g(x)0。 x=1是g(x)的最小值，最小值g (1)=1。(2)y=MX-2 linx=MX-2 linx。 y=m - 0在1，上是常数，也就是说，m在x1，)上是常数。且= 1，因此m1。因此，实数m的取值范围是1，)。(3)从问题的含义来看，x上的不等式f (x)-g (x) h (x)在1，e上有解，即如果x上的不等式成立，那么实数m的取值范围是_ _ _ _ _ _。回答：(-，0)分析：方法1:(原因)从问题的意义来看，已知x使不等式-mex-x成立。如果=t (t0)，则t0表示不等式-mtet2-T2成立。如果f (t)=tet2-T2 (t 0)，那么f(t)=et2(2t 2 1)-2t(t0)，方程f(t)=0需要求解，但这个方程不容易求解。我们可以大胆地猜测，方程f(t)=0没有解(如果方程f(t)=0没有解，那么f(t)的值要么是常数正，要么是常数负(否则，方程f(t)=0根据零的存在定理有解)，并且f(t)被获得为递增函数或递减函数。此时研究函数f(t)是很方便的。证据如下：F (t)=ET2(2T 2 1)-2T2T 2-2T0(t0)，所以f(t)0(t0)，所以函数f(t)是增函数，所以它的最小值为F (0)=0。So-m0，那是m0。(文章)从问题的含义来看，已知x使不等式-mex-x成立，当x=0，m0，当x0，f (x)=ex-x，f(x)=ex-1，所以不容易找到方程f (x)=0的根，所以我们可以大胆地猜测方程f (x)=0没有解，即f(x)的值是常数正还是常数负。证据如下：F (x)=Ex-1 2Ex-1=Ex-1，87X0，8756Ex，8756Ex-10，8756F (x) 0，8756F (x)是(0，)的递增函数，8756F (x) f (0)=0，8756；-m0，那是m0。总而言之，可以看出m的取值范围是(-，0)。方法2:不等式成立，相当于m 成立，这相当于m (x-ex) max。如果f (x)=x-ex，f (x)=1-ex0。 f (x)=x-ex是0，上的单调递减函数，所以(x-ex) max=0， m 0。1.众所周知，函数f (x)=(k是常数，e=2.718 28.是自然对数的底)，并且曲线y=f (x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴。(1)求出k的值；(2)找到f(x)的单调区间；(3)设g(x)=xf(x)，其中f(x)是f(x)的导数函数。证明：对于任何x0，g (x) 1 e-2。解决方案：(1) f (x)=因为f (1)=0，1-k=0，即k=1。(2)从(1)开始，f(x)=。很容易知道h (x)=-ln x-1是(0，)上的递减函数，h (1)=0，所以当00时，当x1，f(x)0时，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，)。(3)证明：从(2)可以看出，当x1时，g(x)=xf(x)01e-2，所以只需证明g (x) 1 e-2为01，g(x)0， g (x)=1-xlnx-x。设F(x)=1-xlnx-x，x(0，1)，然后F (x)=(lnx 2)，当x (0，e-2)，F(x)0，当x (e-2，1)，F(x)0，所以当x=e-2，F(x)得到最大f (e-2)=1 e-2。所以g(x)0，g (x) 1 e-2。2.已知函数f (x)=kex-x2具有两个极值点x1，x2(x10，当x1，(x)0时，因此(x)在(-，1)上单调增加，在(1，)上单调减少。因此，当x=1时，(x) max=。示出了函数 (x)的图像。因为函数f(x)有两个极值点，y=k和y= (x)的像有两个交点，所以从图中得到的k值的范围是。(2)从f(x1)=kex 1-2x 1=0，kex1=2x1，所以f (x1)=kex1-x=2x1-x=1-(1-x1) 2从图中可以看出，x1的取值范围是(0，1)，因此f(x1)的取值范围是(0，1)。类似地，可以获得f (x2)=kex2-x=2x2-x=1-(x2-1) 2，并且从图中获得的x2的值范围是(1，)，所以f(x2)的取值范围是(-，1)。3.设f (x)=(x-1) ex-kx2 (k r)。(1)当k=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k时，求函数f(x)在0，k上的最大值m。解：(1)当k=1时，f (x)=(x-1) ex-x2，所以f (x)=xex-2x=x (ex-2)。从f(x)0，得到xln 2或x0；从f(x)0，00和(1)0被获得，因此在函数(k)上有一个唯一的零k0(这个零是函数(k)的隐式零)。所以当0，即h(k)0，当k00，h (1)=0，所以h (k)=f (k)-f (0) 0，f(k)f(0)，所以m=f (k)=(k-1) ek-k3。4.(2015年山东高考)设置函数f (x)=(x a) ln x，g (x)=。已知曲线y=f (x