第六章-线性方程的Adomian分解法【PPT课件】

第六章 线性方程,Adomian分解法,的,第一节 Adomian分解法概述,第二节 波动方程,第三节 热传导方程,第四节 拉普拉斯方程,将方程中的未知函数u(x, y)分裂成一个无穷级数,第一节 Adomian分解法概述,一、标准Adomian分解法,(6.1.01),而得到其解, 其中级数的通项un(x, y)由递推方式确定.,Adomian分解法的要点是：,具体而言之, 我们考虑算子形式的线性微分方程,(6.1.02),其中L一般是一个 (关于某个自变量) 的最高阶微分算子并且是可逆的, R是其它线性微分算子, g是自由项 .,我们将逆算子L-1作用于(6.1.02)的两端并利用已给初边值条件, 得到.,(6.1.03),其中函数f由积分自由项g和已给初、边值条件而得到.,将(6.1.01)代入(6.1.03)中得到,(6.1.04),(6.1.05),Adomian分解法指出, 通项un(x, y)的递推公式是,(6.1.06),也就是,.,例1. 求解偏微分方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,所以方程的精确解为,计算得到,例2. 求解偏微分方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Ly是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,计算得到,.,所以方程的精确解为,Adomian分解法是求解微分方程的一个强有力的方法, 特别对于非齐次线性方程, Adomian分解法可通过消除噪声项来使其级数收敛迅速加速 .,二、Adomian分解法的消除噪声项,消除噪声项思想的要点是：,(1)将噪声项定义为级数,中第一项u0,与u1中的符号相反的恒同项.,(2)划去u0中的噪声项后,剩下的部分若是方程的解, 则它就是其精确解; 若不是解, 则方程的精确解仍是级数形式的解 .,(3)因为齐次线性方程没有噪声项, 所以噪声项只可能出现在非齐次线性方程中. 如果没有出现噪声项,则方程的精确解仍是级数形式的解 .,例3. 求解非齐次偏微分方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,计算得到,计算得到,观察u0(x, y)与u1(x, y)的表达式可见, 它们有符号相反的相同的项,故是噪声项, 在u0(x, y) 中划去这些噪声项, 剩下的部分是 u (x, y) =1. 显然, 这不是方程的解.,但若在u0(x, y) 中划去-y+ycoshx, 剩下的部分是,代入方程验证后知, 它是方程的解, 故方程的精确解为,三、修正的Adomian分解法,在Adomian分解法中, 有时若将(6.1.03)或(6.1.04)中的项f分裂成两项,即,(6.1.07),利用(6.1.07), 我们可将un的递推公式作稍许改变而使得计算更容易, 就是令u0=f1, 而将f2配给u1,其它项不作改变.,这样, un的递推公式就成为,.,例4. 求解偏微分方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lx是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,所以方程的精确解为,计算得到,例5. 求解线性古尔沙问题(linear Goursat problem),解:,将方程写成算子形式,其中,且Lx , Ly是可逆的, 其逆算子分别为,和,为了得到递推公式, 我们须解出算子方程左端的u(x, y), 于是我们将逆算子,次作用于算子方程的的两端, 即,依,现在计算上式的左端, 并注意到初始条件, 得,现在计算上式的左端, 并注意到初始条件, 得,代入算子方程, 整理, 得,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,得到递推公式,得到递推公式,.,计算得到,.,所以方程的级数形式的解为,本节结束！,第二节 波动方程,波动方程是一种重要的偏微分方程, 是双曲型方程的典型代表, 主要描述自然界中的各种波动现象, 例如声波, 光波和水波. 波动现象抽象自声学、 电磁学和流体力学等领域.,一、一维波动方程,1. 有界弦的振动规律,一维波动方程,(6.2.01),(6.2.02),初始条件,边界条件,(6.2.03),下面我们用Adomian分解法求解一维波动方程.,1. 有界弦的振动规律,我们将波动方程(6.2.01)写成算子形式,(6.2.04),其中,且Ltt , Lxx是可逆的, 其逆算子都是二,为了得到递推公式, 我们须解出算子方程(6.2.04)左端的u(x, t), 于是我们将逆算子,次积分,作用于(6.2.04)的两端, 即,(6.2.04),其中,且Ltt , Lxx是可逆的, 其逆算子都是二,为了得到递推公式, 我们须解出算子方程(6.2.04)左端的u(x, t), 于是我们将逆算子,次积分,作用于(6.2.04)的两端, 即,(6.2.05),现在计算(6.2.05)的左端,并注意到初始条件(6.2.02), 得,(6.2.05),现在计算(6.2.05)的左端,并注意到初始条件(6.2.02), 得,(6.2.09),Adomian分解法指出, 通项un(x, t)的递推公式是,将这些求出的un(x, t) 代入,就得到方程(6.2.01)的级数形式的解. 如果很容易求出级数的和函数, 则波动方程的定解问题的解立即就得到了.,例1. 求解初、边值问题,(*),其中,并且,将方程写成算子形式,解：,(*),其中,并且,将方程写成算子形式,解：,从而得到递推公式,计算得到,.,.,所以方程的精确解为,2. 无界弦的振动规律,一维波动方程,(6.3.04),初始条件,例2. 求解初值问题,解:,将方程写成算子形式,其中,且Ltt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,所以方程的精确解为,计算得到,二、高维波动方程,二维空间中长为、宽为的振动膜中波的传播规律由下列初值问题给出 .,(6.3.05),其中,分别描述系统各点的初始位移和初始,速度.,下面我们用Adomian分解法求解高维波动方程.,例3. 求解初值问题,解:,将方程写成算子形式,其中,且Ltt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入,得到,从而得到递推公式,.,.,计算得到,.,所以方程的精确解为,本节结束！,第三节 热传导方程,热传导方程是一个重要的偏微分方程, 它描述一个区域内的温度如何随时间变化，是抛物型方程的典型代表, 具有丰富的物理背景 .,一、一维热传导方程,一维热传导方程,初始条件,边界条件,(6.3.01),(6.3.02),(6.3.03),一维热传导方程,初始条件,边界条件,(6.3.01),(6.3.02),(6.3.03),下面我们用Adomian分解法求解一维热传导方程.,(6.3.04),我们将热传导方程(6.3.01)写成算子形式,其中,且Lt和Lxx都是可逆的, 其逆算子,是一次积分, 而,是二次积分, 其定义分别是,为了得到递推公式, 我们须解出算子方程(6.3.04)左端的u(x, t), 于是我们将逆算子,作用于(6.3.04)的两端, 即,(6.3.05),现在计算(6.3.05)的左端, 并注意到初始条件(6.3.02), 得,(6.3.05),代入(6.3.05), 整理, 得,(6.3.06),(6.3.07),Adomian分解法指出, 通项un(x, t)的递推公式是,(6.3.09),将这些求出的un(x, t) 代入,就得到方程(6.2.01)的级数形式的解.,例1. 求解热传导方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,所以方程的精确解为,计算得到,.,二、高维热传导方程,例2. 求解二维热传导方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lt是可逆的,将其逆算子,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,计算得到,.,.,.,所以方程的精确解为,所以方程的精确解为,例3. 求解三维热传导方程,解:,将方程写成算子形式,其中,且Lt是可逆的,将其,作用于方程的两端, 并注意到初始条件,逆算子,得到,再将未知函数的级数展式,代入, 得到,从而得到递推公式,.,从而得到递推公式,.,计算得到,.,所以方程的精确解为,本节结束！,第四节 拉普拉斯方程,本节介绍位势方程,(6.4.01),它是椭圆型方程的典型代表.,当自由项f 恒等于零时, 其具体形式为,(6.4.02),求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题, 因为这种方程以势函数u的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象(一般统称为“保守场”或“有势场”)的性质.,不失一般性, 考虑二维拉普拉斯方程方程的边值问题.,(6.4.03),下面我们用Adomian分解法求解拉普拉斯方程.,其中u=u(x, y)是拉普拉斯方程方程在矩形区域,内的解.,我们将拉普拉斯方程(6.4.03)写成算子形式,(6.4.04),其中,且Lxx , Lyy是可逆的, 其逆算子都是二,次积分,为了得到递推公式, 我们须解出算子方程(6.4.04)左端的u(x, t), 于是我们将逆算子,作用于(6.4.04)的两端, 即,(6.4.04),(6.4.05),现在计算(6.4.05)的左端,并注意到边界条件, 得,g(x)= uy(x,0)未给出!,Adomian分解法指出, 通项un(x, y)的递推公式是,(6.4.09),这就导致,.,(6.4.10),为了得到方程的解, 我们还需确定函数g(x).,(6.4.11),(6.4.10),注意到(6.4.03)中的边界条件u(a, y)=(y),将x=a代入(6.4.10), 得,再将(6.4.11)左端的展开成关于y的麦克劳林级数,然后由两端y的同次项的系数相等, 确定出g(x). 最后由(6.4.10)得到方程(6.4.03)的级数形式的解. 如果很容易求出级数的和函数,则拉普拉斯方程的定解问题的解立即就得到了.,当然, 对于不同形式的边界条件, Adomian分解法的具体解题法略有不同, 我们用具体例子来加以说明.,例1. 求解边值问题,解:,由于没有导数边界条件, 且在非齐次边界条件中有y变量, 故将方程写成如下算子形式,其中,且Lyy是可逆的,其逆算子定义为,将其作用于方程的两端, 得到,这里g(x)=uy(x, 0)是一个未知的边界条件.,这里g(x)=uy(x, 0)是一个未知的边界条件.,从而得到递推公式,计算得到,.,.,所以,为确定g(x), 我们利用非齐次边界条件,将其展成泰勒(Taylor)级数,让两端同次项系数相等,这样就可确定g(x)了.,让同次项系数相等,得,