自动控制-3.1-3.2-线性系统的时域分析法

第3章线性系统的时域分析法,2,1.重点介绍一阶和二阶系统时间响应的分析和计算；2.讨论系统参数对性能指标的影响，分析改进二阶系统性能的措施；3.介绍用劳斯稳定性判据分析系统稳定性的方法;4.计算稳态误差的方法,本章主要内容,3,3.1线性系统的时域性能指标,分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。,经典控制理论中常用的工程方法有时域分析法根轨迹法频率特性法,时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，主要是在时域研究系统的运动规律，在数学上表现为微分方程的时间解。具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的全部信息。,timedomain,performanceindex,4,常用典型输入信号有哪些？,1.单位阶跃函数,2.单位斜坡函数,时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。,一、典型输入信号,4.单位脉冲函数,5.正弦函数,3.单位加速度函数,典型输入信号是指根据系统经常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的基本输入函数。,5,分析系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。,需要注意的是，对于同一系统，不同形式的输入信号所对应的输出响应是不同的，但是对于线性控制系统来说，它们所表征的系统性能是一致的。,通常选用单位阶跃函数作为典型输入信号，则可在同一个的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。,6,对于稳定的系统，对于一个有界的输入，任何系统的时间响应都是由动态过程和稳态过程两部分组成。,如某系统的单位阶跃响应曲线如图所示：,二、系统的性能指标,7,动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。,相应地，性能指标分为动态指标和稳态指标。,8,研究内容动态性能稳态性能稳定性,通过系统的时域分析，要研究的主要内容是,只有系统稳定，对于其动态性能和稳态性能的研究才是有意义的。,因此，稳定是控制系统能运行的首要条件。,9,（1）动态性能,动态性能通常是以系统在初始条件为零的情况下，对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量。,稳定系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。,（一）衰减振荡：,具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：,10,延迟时间：,输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。,上升时间：,它有几种定义：,1）响应曲线从稳态值的10上升到稳态值90所需时间；,2）响应曲线从稳态值的5上升到稳态值95所需时间；,3）响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。,一般对有振荡的系统常用3），对无振荡的系统常用1）。,11,最大超调量(简称超调量)：,输出响应达到第一个峰值ymax所需要的时间。,峰值时间：,响应曲线偏离稳态值的最大偏离量与稳态值之比，常以百分比表示：,12,响应曲线从零开始进入稳态值的95105（或98102）误差带，且以后不再超出此范围的最小时间。,调节时间：,一般取的5%或2%，称允许误差范围，用D表示,13,在上述几种性能指标中，表示动态过程的响应速度；而反映动态过程的阻尼程度（振荡程度）；是同时反映系统响应速度和阻尼程度的综合性指标。,r,p,t,t,14,（2）稳态性能,当时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数时，则系统存在误差。,稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。,（二）单调变化,单调变化响应曲线如图所示：,这种系统就无需采用峰值时间和最大超调量这两个指标。此时最常用的是调节时间这一指标来表示瞬态过程的快速性。有时也采用上升时间这一指标。,15,控制系统能在实际中应用，其首要条件是保证系统具有稳定性。不稳定的控制系统，当受到外界或其内部一些因素的扰动，如负载或电源的波动，系统的变化等，就会使系统的输出量越来越偏离其平衡状态，即使在扰动因素消失后，也不可能再恢复到原平衡状态。,（3）稳定性,若控制系统在初始条件或扰动影响下，其动态响应随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定；反之，不稳定。,控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，与外加信号无关。,16,小结,典型输入作用动态过程和稳态过程系统响应的性能指标（动态和稳态）,17,3.2一阶系统的时域分析,一阶系统的数学模型由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数的特征方程是s的一次方程。,firstordersystem,注意：具有同一数学模型的所有线性系统，对同一输入信号的响应是相同的。区别仅在于物理意义的不同。,一阶系统的数学模型：,18,一阶系统的单位阶跃响应,上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量，为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都不会超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示。,19,该响应曲线的斜率是,从斜率表达式，可见斜率是单调下降的。,如果可以得到初始斜率特性，就可以确定一阶系统的时间常数。,20,由表可知，当t3T或t4T时，响应曲线将保持在稳态值的5%或2%允许误差范围内，即一阶系统的调节时间为：,可见，调整时间只与时间常数T有关。因此T越小，ts越小，响应过程越快。,根据响应表达式，可求得下表,21,特点：,性能指标：,延迟时间：td=0.69T上升时间：tr=2.20T调节时间：ts=3T(=0.05)或ts=4T(=0.02),1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2）初始斜率为1/T；3）无超调；稳态误差ess=0。,22,例：已知一阶系统的结构图如图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间ts；若要求ts0.1秒求此时的反馈系数。,解：由系统结构图求出闭环传递函数,由闭环传递函数知时间常数T=0.1秒,由公式知：ts=3T=0.3秒（D=0.05）,由解可知当闭环传递函数写成时间常数形式，则分子上的系数仅与稳态值有关，决定调节时间的是时间常数。,另：,23,若要求ts0.1秒求此时的反馈系数。可设反馈系数为k，,当，则，即时ts0.1秒,由此可知：对一阶系统而言反馈加深可使调节时间减小,反馈加深对系统的响应还有什么响应？,由此可知：反馈加深还将使输出幅值减小。,24,3一阶系统的单位脉冲响应,（t0）,25,1)可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2)初始斜率为；3)无超调；稳态误差ess=0。,在实际中一般认为在t=3T4T时过渡过程结束，故系统过渡过程的快速性取决于T的值，T越小系统响应的快速性也越好。,特点：,26,4一阶系统的单位斜坡响应,r(t)=t,（t0）,式中，t-T为稳态分量，为动态分量，当t时，动态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。,27,显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即,因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。,稳态误差ess=T,28,跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e-t/T),5一阶系统的单位加速度响应,随时间推移，跟踪误差不断增长，直至无穷。,因此，一阶系统不能跟踪加速度函数。,29,系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响应的导数。这个结论对任何阶的线性定常系统都是适用的。,下表列出了一阶系统在各种典型输入下的响应。,30,结论：一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间常