皮克定理及其证明

第1 7卷第1期 2000年3月 苏州教育学院学报 J uo am !fo uShz uo dE u ac it no Cbll ge e 、勺1 . 17 . N O . 卜 心 r . 200 0 皮克定理及其证明 詹 国梁 一 、 引言 数年前 , 国外某次数学会议的主办者 , 为了增添地方特色 , 特地邀请了当地 的一位林业官员 , 向 与会者介绍一系列有关数学应用在森林工业中的突出例子 。 其中有一个例子 , 就是关于如何由森 林巡航车从树木的位置确定的地域范围来计算含在其中的多边形的面积 。 其具体方法是用一张画 有由树木构成点阵的透明薄膜覆盖在多边形地域图上 , 再根据多边形边界上点数的一半加上多边 形内部的点数 , 从而得出多边形的面积 。 虽然这位官员并未意识到他基本上(稍有误差)在使用十 分完美 、 实用的皮克(iPc k)定理 : 一个简单的格点多边形(即以格点为顶点而各边不相交叉的多边形)的面积S = 1+告B 一 1 , 其 中I与 B分别表示这个多边形内部与边界上的格点数 。 这个定理的发现者乔治 亚历山大 皮克(G eo rg l Ae x a nde r iPc k ) , 185 9 年生 于奥地利首都维也 纳 , 194 3 年死于 Th e r e s ie ns t a d t 集中营 , 他为格点几何与微分几何做出卓越的贡献 。 皮克定理发表 于 1899 年 , 并由波兰数学家史坦因豪斯(Se t inha u S )撰写的一本佳作而传遍世界 。 为纪念皮克定 理发表 10 0 周年 , 引起读者对该定理的兴趣与进一步研究 , 特撰此文 。 二 、 皮克定理 的证明 皮克定理有多种证法 , 比较常见的一种 , 可阅参考文献3 , 这种证法巧妙但曲折 。 本文介绍一 种先通过运用分类思想与爬坡式推理 , 证明特殊情形(格点矩形 、 格点三角形)下的皮克定理 , 后用 归纳法证明一般情形(格点多边形 )下的皮克定理 。 其全部证明过程有序而自然 , 按步就班 , 容易掌 握 。 1 格点矩形的皮克定理 格点矩形的面积 S二I+ 专B 一 1 , 其中 I与B分别表示 矩形内部与边界上的格点数 。 证明 : 设矩形 ABCI的长和宽分别是m和 n 。 容易从 图一 上看出 S二 t n n , I“ (m 一 1)(n 一 1) , B二2(m + 1) + 2(n 一 1)二2(m + n ) 因为m n = (m 一 1)(n 一1)+ (m + n ) 一 1 曰曰曰日日口口口口口口口 尸勺 勺刁 刁 团团团团团团团团团团 门门门门门门门口口口口/ / /口口口口 了了了了尸尸日 日日日日日 口口口 J尹尸 尸 厂厂巨巨巨口口口口 所以 S二I十音B一1 图一 2 , 格点三角形的皮克定理 格点三角形的面积 S=I+ 雀 一 B 一 l , 其中 I与B分别表示三角形内部与边界上的格点数 。 证明 : 如用矩形把格点三角形 “ 箍 ” 起来 , 使得矩形的至少一个顶点与三角形的一个顶点重合 。 这样 , 格点三角形在矩形中所处的各种不同状态 , 共有如下五类 : 66 / / / / / / / / / 厂厂少少 厂厂 ) ) ) 厂厂刀刀 图二 ( 1 )第一类情形 如图二(l )设月3 、 B C 、 AC 内含有的格点数分别为 a 、 b 、 c , 且因AB C中有 I个内点 , 则矩形 B A CI就有2 1 + C个内点 , 故有AB C的面积 = 告AB (刀 的面积二告(2 1 + C) + 寺(a 2 + Zb十4 ) 一 1卜I + 告( a+ b + e+ 3) 一 1=I+音B一1 (2 )第二类情形 下面约定I俄与B腮分别表示月3C的内部格点数与边界上的格点数 ; IB A 与 BB A 表示 A B边的内部格点数与A 13边上全部格点数 。 如图三所示 , 由第一类情形的结论得 : 产” 一 ,/ 闷 ”囚 , , / 、 门沪夕“J曰。 ” J 乙 AIX 二的 面积 = 协 A以二+ 告B月 1二一 1 B CD的面积 = I哪+ 告B IrD一 1 所以 , A 13C的面积 二 (I八I x 飞十 I叮) ) 十 专(BA印 + Bc B D ) 一 2 IA以二 十告BA !汇一1=(I月工几 + I。 哪 十Ic D ) 十 告(B八以! 十 B ED C一 Zlc D 一 2) 一1 = (I 八。 C + Il获D)+ 告(B A l犯+ B眠) 一 2 由得 , A BC的面积 二 协 A l义二十 告B ABC一 1 即 赶3C的面积 = I 十 告B 一1 (3 )第三类情形 如图四所示 , 由第一类情形的结论得 : ALC的面积二协 AL(十 告B赶犯 一 1 ABL)的面积二I AB D十 专B八 I3D一 1 所以 , AB C的面积=ADC的面积 一 AB D的面积 = (I姗 一 IAB D) + 告(B ADC 一 BABI) IA3 二十 专B月犯 一 1 二 (I姗 一 IB D A 一 IB A)十 专B战 一 1 巨巨巨口 口才才因因口口口口口口 洲洲洲洲 r r r r r卜卜卜卜 门门门团 团团门门口口冈冈口口 团团团口口口口口口口口口因因 图三 口口口口口口口口口口口 月月团团 习习习习习习于于 r r r r r 曰曰曰门门口口r r r口口 护.沪口口口 口 国国国巨巨日日广广口口口口口 图四 且 BA l艾二 琢 c + B咒 + BAB 一 3 = 13AC 十 (1义l 一 BB D + 1 ) 十 BA I3一3 从而 , 孤 c十 玫习 二BA玫二+BB D十2一 抓 B 又 B闪以几 二 BA c + 1又1) 十B月 一3 I协姗“BB A + Bf A+I3BI)一3 一 得 : Bx A I 卜 BAB D 二 B A c+ 1戈J ) 一 BA B一13BI) 二BA以十I占 D H + 2 一Z BA B一 B】刃 二Bl Ar十 2 一2圣 加 , 于是 , BA砚 = (B越r 一 l协脚 )+ 213AB 一 2 又由 、 、 可得 : I A 压二十 告 B CBA一 1 二 I ACD一 I ABI 一 I BA 十 专( B 八 D C一 B BIA) ) 十 1 弘 B一 1 一 1 二 ( I DAc 一 I DBA ) 十 告( B 溉一 孙 DBA ) 二 BA C 的面积 。 即 ()4第四类情形 如图五所示 , 由第一类情况所给出的结论得 : AB D的面积二I B D A + 告BB D A 一 1 BEC的面积 二 IB EC + 音BB E c一1 AFC的面积二I峨 十 告B峨 一 1 口A DE F的面积 = 抽D A E F十 音珍 习D A E F 一 l 从而 , AB C的面积二口从E F 一ABD一B EC一 AF C A B C的面积 =I十 告B 一 1 口口口口 口口口口因因 、 ! ! ! Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z口口口口女女 日日日 / / / 厂厂厂厂口口呀呀日日 叼叼叼卜卜巨巨厂厂 巨巨口口 图五 = (抽 A D E F一 IAB I一IBE C一Ic A F ) + 告(B , AD EF一 B ABD一 B B E C一 B AF C)十2 又因为I川犯 十 告B A以卜 1= (I 口 AD E F一 I八J一I B C E一 I月3f一Ic A 一 Ic B 一 IB A)+ 告( Ic A 十 IB A 十 I孤十3 ) 一 1= (卜 A I E F一 I c F A 一 I c B E 一 I B D A ) 一 告( Ic A + 11 十 IB A 一 1 ) 且 IC A 二 B八凡二一IF A 一 IC F 一 31砚= =BBE C一IC E 一 IB E 一 3 IB A二B A I弧一 IB D 一 IAD一3 IAe+I砚+I胡 一 1= (B A FC十 BB鱿+B朋D)一 ( I肠+I叮+IE e+IBE +IBD +I朋)一10 二 B A践!+ B BEC十 B A 1 3D一 l玉, AD E F一 4 所以 , 由可得 I八犯十 专BB A c一1 = (卜AD E P 一 I二- c A F 一Ic B E一 IB A D ) 一 音( 玉 二ADEF一 B娥 一 BB Ec 一 B二A印 )+2 二 A13C的面积 。 即月3C的 面积 二 I十告B 一 l (5 )第五类情形 如图六所示 , 由格点矩形的皮克公式与第一类情形的结论得 : AI3C的面积 = 口AD CG的面积 一 口BD F E 的面积 一BEC 的面积 一 ABF的面积 一 AGC的面积 二 (抽 Al xx; 十 古I女 肛犯C一 1 ) 一 (I二B FD E 十 告1玉 二BF I) E 一 1 ) 一 (I I3E C + 告B BE C一 l ) 一 (I A BF+ 告B A B F 一 1 ) 巨巨巨厂厂厂厂厂厂厂厂厂厂厂厂闭闭 / / / / / / / / / / / / / / / / / 厂厂 , 口口口口口口口口门门叼叼叼日日门门 川川川川川川 岁尸尸尸 少 曰 曰曰 口口口口口曰曰! J J J习 习曰曰阶 阶门 门门门 国国国日日 尸尸 . . . 厂厂 片 洲洲 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L AF 刀 一 ( IA GC+ 专B Ac G一 l ) = ( I 口ADC C 一 Io B FD E一 IB E c 一 I B F A 一 Ic G A )图六 + 去(1玉 二 AG DC一 B二 B阳E 一B EC日一 B赶3F一BAGC)十3 又 因为 IABC+ 音B Al汇一 1 二 (卜 A l义义;一 I二B F DE一I砚c 一 IA C (: 一Ic A 一 IB A 一 Ic B 一 IB E 一 I即 一 1 ) 十 告( Ic A 十 Ic B 十 I胡十 3) 一 1 = (I二A l x x;一 I二BFIE一IBc E 一 IB A F一 I献汇)一音(Ic A + Ic B 十 IB A + 1)一IB E 一 IB F 其中 Ic A = B献犯一IG A 一 I端一3 Ic B 二 B玫下 一 Ic E 一 IB E 一3IB A= B月3F一IB P 一 IF A 一 3 一 音(I鱿 + I咒+I阴+1)一IB E一IB F =一 告(B AG C 十B】 3CE十 BAB F一I(A; 一Ia ;一 Ic E 一 IB E 一 IB F 一 IF A 一 8)一B I E 一 IB F = 一蚤( IG A十I以; + Ic E 十 IB E 十 IB F 十 IAF 一 B八以二一BB C E一I A B F)一 IB E 一 IB F 十 4 = 去( IG A 十 Ic ( ;十 Ic E 十 IF A 一 IB E 一 IB F 一 Bc G A 一 BI互二 E一IB F A ) 十4 68 = 告(1 至 口Al汇写一 l 工 习B FED一 2) 一B G Ac 一B毗一 I B A F 十 4 二 专 ( 压 习 AXI艾子一B口B阳E一B O G C A一 BB A F 一 I BC E ) 十 3 从而 , 由可得B A C的面积=I腮+ 告助腮 一 1 即A BC的面积=I十音B 一 l 3 . 格点多边形的皮克定理 一个简单的格点多边形( 即以格点为顶点而各边不相交叉的多边形)的面积S = I十专B 一 “其 中 I与B分别表示这个多边形内部与边界上的格点数) 。 证明 : 我们对多边形的边数进行归纳 , 现在来考虑一个简单的 K边格点多边形(K 3) 。 首先 证明 : 这样的多边形必有一条含于其内部的对角线 。 事实上 , 如果是凸多边形 , 则其结论是显然的 ; 如果不是凸多边形 , 我们假定在某一顶点处 v 的内角大于1 80 0 , 这时从v点出发一条半射线 , 然后 让它扫过多边形的内部时 , 必定会碰上另一顶点(否则 , 多边形将会包围了一个面积为无穷大的区 域) , 而这就决定了一条以V为端点位于多边形的对角线l 。 现设格点多边形 P有I个内格点和B个边界格点 , 而对角线 I把P分成两上简单的格点多边 形 P : 与 P: , 它们分别有 11与I: 个内格点 , B: 与残个边界格点 , 假定在l上除端点外有 x 个格点 , 则B = B .+ 氏 一2一 Zx , I=11+I: + x o 令 s 、 S : 、 岛分别表示P 、 P , 、 几的面积 , 则 S=S , + 凡 = (1 .+ 告13 : 一l ) + (I : + 告耳 一 1) = (1 .+ 12) + 一务( B .+ 残) 一 2 = (I : + I: + x ) + 告 (B I + 氏 一 Zx) 一 2 = I+ 告(B + 2) 一 2=I+ 奋B 一 l 三 、 皮克定理的应用 1 . 皮克定理是格点几何中的一条基本定理 , 常用来证明以及解决用格点法处理的某些数学命 题与数学问题 。 例如 , 格点几何中有一个非常直观的命题 : 在坐标平面上 n x n的正方形 S包含( n十