2013年江西省高考数学试卷(文科)答案与解析

2013年江西省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2013江西）复数z=i（2i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有分析：化简可得复数z=i（2i）=2ii2=12i，由复数的几何意义可得答案解答：解：化简可得复数z=i（2i）=2ii2=12i，故复数在复平面内所对应的点的坐标为（1，2）在第四象限，故选D点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题2（5分）（2013江西）若集合A=xR|ax2+ax+1=0其中只有一个元素，则a=（）A4B2C0D0或4考点：元素与集合关系的判断菁优网版权所有专题：集合分析：当a为零时，方程不成立，不符合题意，当a不等于零时，方程是一元二次方程只需判别式为零即可解答：解：当a=0时，方程为1=0不成立，不满足条件当a0时，=a24a=0，解得a=4故选A点评：本题主要考查了元素与集合关系的判定，以及根的个数与判别式的关系，属于基础题3（5分）（2013江西）若sin=，则cos=（）ABCD考点：二倍角的余弦菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：由二倍角的余弦公式可得cos=12sin2，代入已知化简即可解答：解：由二倍角的余弦公式可得cosa=12sin2=12=1=故选C点评：本题考查二倍角的余弦公式，把看做的二倍角是解决问题的关键，属基础题4（5分）（2013江西）集合A=2，3，B=1，2，3，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：概率与统计分析：由分步计数原理可得总的方法种数为23=6，由列举法可得符合条件的有2种，由古典概型的概率公式可得答案解答：解：从A，B中各取任意一个数共有23=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=故选C点评：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题5（5分）（2013江西）总体由编号为01，02，19，20的20个个体组成利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A08B07C02D01考点：简单随机抽样菁优网版权所有专题：图表型分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01故选：D点评：本题主要考查简单随机抽样在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的6（5分）（2013江西）下列选项中，使不等式xx2成立的x的取值范围是（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）考点：其他不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用分析：通过x=，2验证不等式是否成立，排除选项B、C、D即可得到正确选项解答：解：利用特殊值排除选项，不妨令x=时，代入xx2，得到，显然不成立，选项B不正确；当x=时，代入xx2，得到，显然不正确，排除C；当x=2时，代入xx2，得到，显然不正确，排除D故选A点评：本题考查分式不等式的解法，由于本题是选择题，利用特殊值验证法是快速解答选择题的一种技巧当然可以直接解答，过程比较复杂7（5分）（2013江西）阅读如图所示的程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是（）AS8BS9CS10DS11考点：程序框图菁优网版权所有专题：计算题；图表型分析：由框图给出的赋值，先执行一次运算i=i+1，然后判断得到的i的奇偶性，是奇数执行S=2*i+2，是偶数执行S=2*i+1，然后判断S的值是否满足判断框中的条件，满足继续从i=i+1执行，不满足跳出循环，输出i的值解答：解：框图首先给变量S和i赋值S=0，i=1，执行i=1+1=2，判断2是奇数不成立，执行S=22+1=5；判断框内条件成立，执行i=2+1=3，判断3是奇数成立，执行S=23+2=8；判断框内条件成立，执行i=3+1=4，判断4是奇数不成立，执行S=24+1=9；此时在判断时判断框中的条件应该不成立，输出i=4而此时的S的值是9，故判断框中的条件应S9若是S8，输出的i值等于3，与题意不符故选B点评：本题考查了程序框图，考查了循环结构，内含条件结构，整体属于当型循环，解答此题的关键是思路清晰，分清路径，属基础题8（5分）（2013江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A200+9B200+18C140+9D140+18考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：计算题分析：根据题意，该几何体是下部是长方体、上部是半圆柱所组成根据所给出的数据可求出体积解答：解：根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和长方体的三度为：10、4、5；圆柱的底面半径为3，高为2，所以几何体的体积=1045+322=200+9故选A点评：本题主要考查三视图的相关知识：主视图主要确定物体的长和高，左视图确定物体的宽和高，俯视图确定物体的长和宽9（5分）（2013江西）已知点A（2，0），抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=（）A2：B1：2C1：D1：3考点：抛物线的简单性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|RtMPN中，根据tanMNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值解答：解：抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0）抛物线的准线方程为l：y=1，直线AF的斜率为k=，过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|RtMPN中，tanMNP=k=，=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=|PM|因此，可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：故选：C点评：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题10（5分）（2013江西）如图已知l1l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=cosx，则y与时间t（0t1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）ABCD考点：函数的图象菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：通过t的增加，排除选项A、D，利用x的增加的变化率，说明余弦函数的变化率，得到选项即可解答：解：因为当t=0时，x=0，对应y=1，所以选项A，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率由大变小，又y=cosx是减函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反故选B点评：本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2013江西）若曲线y=x+1（R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则=2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：求出函数的导函数，求出x=1时的导数值，写出曲线y=x+1（R）在点（1，2）处的切线方程，把原点坐标代入即可解得的值解答：解：由y=x+1，得y=x1所以y|x=1=，则曲线y=x+1（R）在点（1，2）处的切线方程为：y2=（x1），即y=x+2把（0，0）代入切线方程得，=2故答案为：2点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的导数，考查了直线方程点斜式，是基础题12（5分）（2013江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（nN*）等于6考点：等比数列的通项公式菁优网版权所有专题：应用题；等差数列与等比数列分析：由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足sn100，解不等式可求解答：解：由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列sn=2n+121002n+1102nN*n+17n6，即n的最小值为6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定13（5分）（2013江西）设f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|a，则实数a的取值范围是a2考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：构造函数F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，利用正弦函数的特点求出F（x）max，从而可得答案解答：解：不等式|f（x）|a对任意实数x恒成立，令F（x）=|f（x）|=|sin3x+cos3x|，则aF（x）maxf（x）=sin3x+cos3x=2sin（3x+） 2f（x）20F（x）2F（x）max=2a2即实数a的取值范围是a2故答案为：a2点评：本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题14（5分）（2013江西）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是考点：圆的标准方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；直线与圆分析：设出圆的圆心坐标与半径，利用已知条件列出方程组，求出圆的圆心坐标与半径，即可得到圆的方程解答：解：设圆的圆心坐标（a，b），半径为r，因为圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，所以，解得，所求圆的方程为：故答案为：点评：本题考查圆的标准方程的求法，列出方程组是解题的关键，考查计算能力15（5分）（2013江西）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4考点：平面的基本性质及推论菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：判断EF与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线EF相交的平面个数即可解答：解：由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4故答案为：4点评：本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（12分）（2013江西）正项数列an满足：an2（2n1）an2n=0（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn考点：数列递推式；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）通过分解因式，利用正项数列an，直接求数列an的通项公式an；（2）利用数列的通项公式化简bn=，利用裂项法直接求数列bn的前n项和Tn解答：解：（1）由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可得（an2n）（an+1）=0所以an=2n（2）因为an=2n，bn=，所以bn=，Tn=数列bn的前n项和Tn为点评：本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力17（12分）（2013江西）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若C=，求的值考点：余弦定理；等差数列的通项公式菁优网版权所有专题：解三角形分析：（1）由条件利用二倍角公式可得sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B，再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，由此可得a，b，c成等差数列（2）若C=，由（1）可得c=2ba，由余弦定理可得 （2ba）2=a2+b22abcosC，化简可得 5ab=3b2，由此可得 的值解答：解：（1）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，sinAsinB+sinBsinC=2 sin2B再由正弦定理可得 ab+bc=2b2，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列（2）若C=，由（1）可得c=2ba，由余弦定理可得 （2ba）2=a2+b22abcosC=a2+b2+ab化简可得 5ab=3b2，=点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题18（12分）（2013江西）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X=0就去唱歌，若X0就去下棋（1）写出数量积X的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率考点：平面向量数量积的运算；古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有专题：平面向量及应用；概率与统计分析：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：2，1，0，1，（2）列举分别可得数量积为2，1，0，1时的情形种数，由古典概型的概率公式可得答案解答：解：（1）由题意可得：X的所有可能取值为：2，1，0，1，（2）数量积为2的有，共1种，数量积为1的有，共6种，数量积为0的有，共4种，数量积为1的有，共4种，故所有的可能共15种，所以小波去下棋的概率P1=，去唱歌的概率P2=，故不去唱歌的概率为：P=1P2=1=点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及平面向量的数量积的运算，属中档题19（12分）（2013江西）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ADAB，AB=2，AD=，AA1=3，E为CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE平面BB1C1C；（2）求点B1到平面EA1C1 的距离考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）过点B作BFCD于F点，算出BF、EF、FC的长，从而在BCE中算出BE、BC、CE的长，由勾股定理的逆定理得BEBC，结合BEBB1利用线面垂直的判定定理，可证出BE平面BB1C1C；（2）根据AA1平面A1B1C1，算出三棱锥EA1B1C1的体积V=根据线面垂直的性质和勾股定理，算出A1C1=EC1=3、A1E=2，从而得到等腰A1EC1的面积=3，设B1到平面EA1C1 的距离为d，可得三棱锥B1A1C1E的体积V=d=d，从而得到=d，由此即可解出点B1到平面EA1C1的距离解答：解：（1）过点B作BFCD于F点，则：BF=AD=，EF=AB=DE=1，FC=ECEF=31=2在RtBEF中，BE=；在RtBCF中，BC=因此，BCE中可得BE2+BC2=9=CE2CBE=90，可得BEBC，BB1平面ABCD，BE平面ABCD，BEBB1，又BC、BB1是平面BB1C1C内的相交直线，BE平面BB1C1C；（2）AA1平面A1B1C1，得AA1是三棱锥EA1B1C1的高线三棱锥EA1B1C1的体积V=AA1=在RtA1D1C1中，A1C1=3同理可得EC1=3，A1E=2等腰A1EC1的底边A1C1上的中线等于=，可得=2=3设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1C1E的体积为V=d=d，可得=d，解之得d=即点B1到平面EA1C1的距离为点评：本题在直四棱柱中求证线面垂直，并求点到平面的距离着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与其逆定理和利用等积转换的方法求点到平面的距离等知识，属于中档题20（13分）（2013江西）椭圆C：=1（ab0）的离心率，a+b=3（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2mk为定值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条件a2=b2+c2列式求出a，b，则椭圆方程可求；（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2mk化简整理即可得到2mk为定值解答：（1）解：因为，所以，即a2=4b2，a=2b又a+b=3，得a=2，b=1所以椭圆C的方程为；（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为联立，得（4k2+1）x216k2x+16k24=0所以，则所以P（）又直线AD的方程为联立，解得M（）由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，得，所以N（）所以MN的斜率为=则所以2mk为定值点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题21（14分）（2013江西）设函数常数且a（0，1）（1）当a=时，求f（f（）；（2）若x0满足f（f（