线性代数练习册答案4.ppt

第四章向量空间,一、证明集合是一个向量空间，并求它的一组基及其维数.,证明：,加法：,数乘：,满足：,这个向量空间是的解空间,维数：,习题一向量空间,二、给定两个矩阵,的行向量组是,的两组基，,试问,向量组哪个是,的行(列),一组基.,解：,不是,不是,是,三、设,中的两个向量,线性无关，试将其扩充为,的一组基.,解：设,四、给定三维向量空间,的两组基：,与,(1)由基,到基,的过渡矩阵；,(2)求向量,在这两组基下的坐标.,解：,习题二向量的内积,一、设,维实向量,的内积组成的行列式,，则,的充要条件是,线性相关.,证明：必要性,行向量之间线性相关,即,线性相关,充分性,线性相关,二、设,是的一组基，试用施密特,正交化方法将其化成的一组标准正交基，,在该标准基之下的坐标.,并求向量,解：,在该标准基之下的坐标.,三、给定,正交，求非零向量,使,两两相交.,解：设：,四、不唯一,五、给定齐线性方程组：,求，其解空间的一组标准正交基.,解：,单位化：,正交化：,习题三正交矩阵,一、若均为正交矩阵，则是正交矩阵，并问,是否是正交矩阵，,并证明你的结论.,证明:,则是正交矩阵,二、设是的一个基，,为可逆矩阵，,则,是,的基.,证明：,是一个基，则,线性无关,任意n维向量均可由,线性表示,三、若为阶正交矩阵，.,证明：,其中为行列式中元素的代数,余子式.,证明：,正交矩阵,四、是中的两个向量，证明：,对任一阶正交矩阵,均有,且的夹角等于的夹角,证明：,正交矩阵,五、试证：若是实对称矩阵，正交矩阵，则也是对称矩阵.,证明：,六、证明：若是阶上三角正交矩阵，则是对角矩阵,且主对角线上的元素是.,证明：,正交,上三角,下三角,上三角,是对角矩阵,自测题,一、选择题,1由的基到基的过渡矩阵为,(A)（B）（C）（D）,2均为阶正交矩阵，则,（A）都是正交矩阵；,（B）是正交矩阵，不是正交矩阵；,（C）不是正交矩阵，是正交矩阵；,（D）都不是正交矩阵.,3设是正交矩阵，则,(A)（B）（C）（D）,4维列向量是的标准正交基的充要条件是,（A）两两正交；(B）均为单位向量；（C）线性无关；（D）,5设，是二阶正交阵，且则,(A)（B）（C）（D）,6的向量在基,之下的坐标是,(A)（B）（C）（D）,7设向量，且则,(A)（B）（C）（D）,二、填空题,1向量经单位化后的向量,2若向量是单位向量，则,3向量组,则向量,在这组基下的坐标是,4与,都正交的单位向量是,5设为阶正交矩阵，则,6两个基,和,则,到基,的过渡矩阵,7向量,与向量,正交，则,三、计算题,1将向量,扩充成,一组基，并化为一组标准正交基,解：,为其一个极大无关组,设：,正交化、单位化,2、求线性方程组,的解空间的一组标准正交基.,解：,正交化,单位化,3已知两个基,和,求由基,到基,的过渡矩阵和坐标变换公式.,解：,4,是一组基,试用施密特正交化方法将其化成的标准正交基.,解：,正交化单位化,5中两个向量,求非零向量,使正交。,解：,设：,6给定,的基,（1）将其化为的一组标准正交基,(2）求向量在标准正交基,下的坐标.,解：,正交化单位化,四、证明题,1,与,都正交，试证,与,任意线性组合,均正交.,证明:,2若,是一组标准正交基，证明：,也是的一组正交基.,证明:,3,是,一组基,证明：,与,都是的基，,并求,到,过渡矩阵.,证明:,是基,是基,4是正交矩阵，则也是正