223向量数乘运算及其几何意义

2.2.3向量数乘运算及其几何意义,如何求作两个非零向量的和向量？,首尾相接首尾连,如何求作两个非零向量的差向量？,首同尾连指被减,问题：一只兔子向东一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是吗?请同学们自己思考.,作匀速直线运动的飞机位移与速度的关系是吗？,带着上面的问题，我们进入本节课的学习！,1.掌握向量的数乘运算及几何意义.2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算.3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线.4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想,（重点）,（重点、难点）,思考1：已知非零向量，如何求作向量和（）（）（）？,O,A,B,C,O,M,N,P,向量数乘的定义,（）（）（）,课堂探究1,思考2：向量和(-)+(-)+(-)分别如何简化其表示形式？,记为3，（）（）（）记为3.,思考4：设为非零向量，那么还是向量吗？它们分别与向量有什么关系？,（1）|=|；,（2）0时,与方向相同；0时,与方向相反；=0时,=.,思考5：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作，该向量的长度及方向与向量有什么关系？,思考6：如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？,向量数乘的运算律及共线向量基本定理,思考1：你认为2（5），22，可分别转化为什么运算？,-2(5)=-10；22=2(+)；(3)=3,课堂探究2,思考2：一般地，设，为实数，则()，()，()分别等于什么？,=,A,D,E,提升总结：,思考3：对于向量（）和，若存在实数，使=，则向量与的方向有什么关系？,思考4：若向量（）与共线，则一定存在实数，使=成立吗？,思考5：综上可得向量共线定理：向量（）与共线，当且仅当有唯一一个实数，使=.若，上述定理成立吗？,共线,一定存在,不成立,思考6：若存在实数，使，则A，B，C三点的位置关系如何？,A，B，C三点共线,思考7：如图，若P为AB的中点，则与，的关系如何？,思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量，以及任意实数，x，y，(xy）可转化为什么运算？,(xy）=xy.,例1.计算（1）（3）4；（2）3（）2（）；（3）（23）（32）.,2,3,O,例2.如图，已知任意两个非零向量试作你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？,A,B,C,A，B，C三点共线.,解：分别作向量，过点A，C作直线AC.观察发现，不论向量怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线.事实上，因为,例3.如图，ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，你能用,表示，和吗？,D,3.计算：,4.根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明.,简析:（1）平行四边形，一组对边平行且相等.,（2）梯形，一组对边平行且不相等.,（3）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等.,5.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.,提示：设，,则,一、的定义及运算律.向量共线定理.,二、定理的应