211椭圆及其标准方程

第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程,通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？,1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（重点）2掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）,实验操作,(1)取一条定长的细绳；(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.,探究点1椭圆的定义,根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？,3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,思考：结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？,椭圆定义：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.,|MF1|+|MF2|F1F2|椭圆,|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段,|MF1|+|MF2|F1F2|不存在,思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？,【提升总结】,探究点2椭圆的标准方程,根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？,思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？,（1）建系设点;,（2）写出点集；,（3）列出方程；,（4）化简方程；,（5）检验.,第一步：如何建立适当的坐标系呢？,想一想：圆的最简单的标准方程，是以圆的两条相互垂直的对称轴为坐标轴，椭圆是否可以采用类似的方法呢？,方案一,设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于2a(2a2c0).,请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.,解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).,设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).,x,F1,F2,M,O,y,由椭圆的定义得,因为,移项，再平方,整理得,两边再平方，得,它表示焦点在y轴上的椭圆.,它表示焦点在x轴上的椭圆.,1,2,y,o,F,F,M,x,（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上;（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.,椭圆的标准方程有哪些特征呢？,【提升总结】,例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.,解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知,又因为,所以,因此,所求椭圆的标准方程为,所以,能用其他方法求它的方程吗？,另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:,联立,因此,所求椭圆的标准方程为:,又焦点的坐标为,【变式练习】,已知椭圆经过两点和，求椭圆的标准方程.,解：设椭圆的标准方程为,则有,解得,所以，所求椭圆的标准方程为.,x,y,O,D,M,P,例2如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则,因为点P（x0,y0）在圆,把点0=x，y0=2y代入方程，得,即,所以点M的轨迹是一个椭圆.,从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？,例3如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.,y,A,x,M,B,O,解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为,同理，直线BM的斜率,由已知有,化简，得点M的轨迹方程为,1.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（）A.10B.20C.30D.40,B,D,3.已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3m，求这个椭圆的标准方程.,解：以两个焦点F1，F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为,根据题意知，2a=3，2c=2.4，即a=1.5，c=1.2.所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81，因此椭圆