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文档简介
角的平分线的性质,双江中学:唐慧,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角,,这条射线叫做这个角的平分线。,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度,,叫做点到直线的距离。,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,探究1:,E,角的平分线的作法,证明:在ACD和ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)ACDACB(SSS)CAD=CAB(全等三角形的对应边相等)AC平分DAB(角平分线的定义),尺规作角的平分线,A,画法:,以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,分别以,为圆心大于1/2的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么OC是角平分线呢?,想一想:,已知:OM=ON,MC=NC。求证:OC平分AOB。,证明:在OMC和ONC中,OM=ON,MC=NC,OC=OC,OMCONC(SSS)MOC=NOC即:OC平分AOB,练习1:平分平角AOB。归纳:“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法。,作已知角的平分线,将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2,角平分线的性质,已知:如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E。,求证:PD=PE,证明:PDOA,PEOB(已知)PDO=PEO=90(垂直的定义),在PDO和PEO中,PD=PE(全等三角形的对应边相等),PDO=PEOAOC=BOCOP=OP,PDOPEO(AAS),角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,证明几何命题的一般步骤:1、明确命题的已知和求证2、根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;3、经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。,角平分线的性质,定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为:,A,O,B,P,1,2,1=2PDOA,PEOBPD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件:,定理的作用:,证明线段相等。,如图,AD平分BAC(已知),=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BDCD,(),判断:,练习2,如图,DCAC,DBAB(已知),=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BDCD,(),AD平分BAC,DCAC,DBAB(已知),=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习3,如图,OC是AOB的平分线,又_PD=PE(),PDOA,PEOB,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,在OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D.求证:AC=BD.,例题讲解,练习4,在ABC中,C=90,AD为BAC的平分线,DEAB,BC7,DE3.求BD的长。,如图,在ABC中,C=90AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF;求证:CF=EB,巩固提高,这节课我们学习了哪些知识?,小结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;,2、角的平分线的性质:111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,OC是AOB的平分线,又PDOA,PEOBPD=PE(角的平分线上的点到角的两边距离相等).,几何语言:,,,4,1.如图,DEAB,DFBC,垂足分别是E,F,DE=DF,EDB=60,则EBF=度,BE=。,60,BF,2如图,在ABC中,C=90,DEAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的,AE+DE=。,角的平分线,6cm,练习,3.已知ABC中,C=900,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?,A,B,C,D,E,你会吗?,证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线,点P在BM上PD=PE(在角平分线上的点到角的两边的距离相等)同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,例已知:如图,ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证:点P到三边A
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