2.1 圆对称性

圆的对称性(1)-垂径定理,1.圆是轴对称图形吗？,你是用什么方法解决这个问题的?,圆是轴对称图形.,其对称轴是任意一条过圆心的直线.,如果是,它的对称轴是什么?,用折叠的方法即可解决这个问题.,你能找到多少条对称轴?,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).,如图,CD是直径,AB弦,CDAB,垂足为M。,你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由。,连接OA,OB,则OA=OB.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,CDAB于M,证明：,已知：CD是O的直径，AB是O的弦，且CDAB于M，求证：AM=BM，AC=BC,AD=BD,垂径定理,定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,CDAB,CD是直径,AM=BM,下列图形是否具备垂径定理的条件？,火眼金睛,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,解：连结OA。过O作OEAB，垂足为E,则AEBEAB84厘米,在RtAOE中，OE=3厘米，根据勾股定理,OA,O的半径为5厘米。,厘米,若E为弦AB上一动点，则OE取值范围是_。,练一练,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点o是的圆心)，其中CD=600m,E为上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。,练一练,1.在O中，若CDAB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（）,练一练,2.已知O的直径AB=10，弦CDAB，垂足为M，OM=3，则CD=.,3.在O中，CDAB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是.,C,8,13,CDAB,垂径定理的逆定理,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:,由CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的逆定理,CD是直径,AM=BM,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,M,判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦的直径一定垂直于这条弦.（）(3)弦的垂直平分线一定经过圆心.（）,练一练,课堂小结：,1.请说出本节所学习的主要内容。2.还有什么疑惑请提出来,已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD,证明：过O作OEAB于E，,解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。,练一练,则AE=BE,CE=DE,AECE=BEDE,即AC=BD,如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么?,E,F,M,N,挑战自我做一做,挑战自我画一画,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，CEB=30，DE=6，CE=2，求弦AB的长。,F,E,D,O,C,A,B,挑战自我做一做,反思小结：,布置作业：,1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题,3、思考题,已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于AB。求证：,。O,C,A,E,B,D,F,1,3、思考题,已知：在以O点为圆心的两个同心圆中。大圆的弦AB交小圆于C、D.求证：ACDB,。O,A,C,B,D,E,如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.,D,C,赵州石拱桥,1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,赵州石拱桥,解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,r,4,r-4,思考题,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,例：如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AECD于E，BFCD于F，且圆O的半径为10，CD=16，求AE-BF的长。,船能过拱桥吗,2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,船能过拱桥吗,解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,