有限元板壳——王勖成.ppt

第十章平板弯曲问题,主要内容：,薄板弯曲理论基本假设和基本方程基于薄板理论的非协调板单元基于薄板理论的协调板单元,1、薄板弯曲理论基本假设和基本方程,基本假设Kirchhoff假设（1）直法线假设：薄板中面法线变形后仍保持为法线。由此，板中面内剪应变为零。（2）忽略板中面的法线应力分量，且不计其引起的应变。（3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不变形。利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且全部应力和应变可以用板中面挠度w表示。,基本方程(1)位移：由假设（1）、（3），有(2)应变由假设（1）、（2），薄板弯曲问题只需要考虑三个分量。根据几何方程，应变可表示为,形变分量：中面x和y方向的曲率与x，y方向的扭率。,广义应变,应力,内力：板单位宽度上弯矩Mx、My和Mxy，为应力分量在板截面上的合力矩：,弹性矩阵,薄板弯曲问题中的弹性矩阵D,内力矩表示薄板应力的公式,平衡方程由广义应力应变关系及几何关系代入平衡方程得由W的微分方程：,边界条件,（1）位移边界条件（2）混合边界条件其中（3）力边界条件,泛函表达式：,薄板应变能：,2、基于薄板理论的非协调板单元,结点位移,单元结点位移列阵,1)、结点位移,2.1、矩形板元,2、位移模式,矩形薄板单元有4个结点，12个结点位移分量，1个挠度独立变量，根据选取位移函数的原则，取：,1-3项刚体位移,4-5项常应变,非协调元,单元间法线导数可能不连续,将结点坐标和结点位移代入上式，可解出a1a12，再代入该式并整理得位移函数,式中形函数,单元刚度矩阵基本公式,广义应变,广义内力,等效结点力：,板单元受横向均布载荷p作用，则等效结点力为,非协调板单元可以通过分片试验，当单元划分不断缩小时，计算结果可以收敛于精确解答，但是收敛并非一定是单调的，即不一定是精确解的上界或下界。,2.2薄板三角形单元,1、位移模式三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角xi、yi，独立变量为wi。,三角形单元位移模式应包含9个参数。若考虑完全三次多项式，则有10个参数。若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。经过许多研究，问题最后在面积坐标下得以解决。,对于三角形单元，面积坐标的一、二、三次齐次分别有以下项：,LiLjLm及其一阶导数在三个结点为零，对于确定待定参数无用；考虑到用结点位移表示待定参数时计算方便，不考虑二次和三次的前三项。因此，只能在剩下的6个三次项中选择三个或利用某种线性组合。考虑对称性，假设位移模式为：,将三个结点的位移和面积坐标代入上式，可得：a1=wi，a2=wj，a3=wm。代入上式对Li，Lj求导，注意Lm=1-Li-Lj，可得,将结点的面积坐标代入上述两式，可得6个关于a4a9的方程，求解后可得a4a9：,最后，待定常数a1a9代入位移模式，整理后得：,将w,Lii和w,Lji变换成xi、yi，从而得到相应于xi、yi的形函数Nxi、Nyi,利用：,3、基于薄板理论的协调板单元,1）增加结点参数结点参数中包含w的二次导数项2）保持结点3个参数前提下采取其他措施，如附加校正函数法、在分割法等。,非协调板单元的收敛性是以分片试验为条件的即使收敛也非单调，不能对解的上下界作出估计。,经典薄板理论范围内使板单元满足协调性要求的方法：,1、3结点的协调元引入校正函数，eg在2-3边上引入23，其性质为：1）在全部边界上23=0；2）在边界1-2和1-3上3）在2-3上,在2-3的中点4取单位值.类似可有12、31.则位移函数为其中，是非协调元的位移函数，、为待定常数，可以通过调整其大小使相邻单元交界面上的协调性得到实现。,实现方法：,按原来非协调位移计算得到的各个边界两端结点平均值：,校正函数项在各边界中点法向导数数值是：,按原来非协调位移计算得到的各个边界中点的：,通过调整的大小，使得在各个边界中点的值等于各个边界两端结点值的平均值，即w在各个边界法向导数成线性变化则,在常应变下，校正函数对项恒为零，对原来位移函数W0的完备性没有干扰。且边界上的法向导数可以唯一的确定。故单元是协调元。,3、多结点参数的协调元,Eg：图示的三角形板单元，位移采用完全5次多项式，其中包含21个待定系数，可以用21个结点的条件决定。,每个角结点有6个参数,每个边中结点有1个参数,共21个条件恰好可以确定21个待定系数,多结点参数：结点参数中除w和外，还包含w的二阶导数，甚至更高阶项。,每个边界w是5次变化，两端节点分别有6个结点参数：可唯一的确定边界上5次变化的w，在边界上位移w是协调的,在每个边界是4次变化，两端节点分别有4个结点参数还有边中结点共5个结点参数,可唯一确定边界上4次变化的，在边界上是协调的,故这种单元完全满足协调性要求,问题：,1、为什么结点位移参数要取？2、在矩形单元中四结点12自由度薄板单元位移四次项为什么选x3y和xy3,而没有选其