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23几种特殊的矩阵,(一)对角矩阵,(二)数量矩阵,(三)单位矩阵,(四)三角形矩阵,(五)对称矩阵,(一)对角矩阵,对角矩阵,如果n阶矩阵A(aij)中的元素满足条件aij0ij(i,j1,2,n)则称A为n阶对角矩阵即,提示,(一)对角矩阵,对角矩阵,对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵,提示,(一)对角矩阵,对角矩阵,对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵,提示,(一)对角矩阵,对角矩阵,对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵,(一)对角矩阵,对角矩阵,对角矩阵的性质如果AB为同阶对角矩阵则kAABAB仍为同阶对角矩阵,显然如果A是对角矩阵则ATA,(二)数量矩阵,数量矩阵,如果n阶对角矩阵A中的元素a11a22anna则称A为n阶数量矩阵即,(二)数量矩阵,数量矩阵,数量矩阵的性质以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B其乘积等于以数a乘矩阵B,提示,(二)数量矩阵,数量矩阵,数量矩阵的性质以数量矩阵A左乘或右乘(如果可乘)一个矩阵B其乘积等于以数a乘矩阵B,提示,(三)单位矩阵,单位矩阵,如果n阶数量矩阵A中元素a1则称A为n阶单位矩阵记作In(或En)有时简记为I(或E)即,单位矩阵的性质ImAmnAmnAmnInAmn对于n阶矩阵A规定A0I单位矩阵I在矩阵乘法中与数1在数的乘法中的性质类似,(四)三角形矩阵,上三角形矩阵,如果n阶矩阵A(aij)中元素满足条件aij0ij(i,j1,2,n)则称A为n阶上三角形矩阵即,(四)三角形矩阵,上三角形矩阵,下三角形矩阵,如果n阶矩阵B(bij)中元素满足条件bij0ij(i,j1,2,n)则称B为n阶下三角形矩阵即,(四)三角形矩阵,上三角形矩阵,下三角形矩阵,三角形矩阵的性质若AB为同阶同结构三角形矩阵容易验证kAABAB仍为同阶同结构三角形矩阵,举例,(五)对称矩阵,对称矩阵,如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji(i,j1,2,n)则称A为对称矩阵,对称矩阵A的元素关于主对角线对称因此有ATA,对称矩阵的性质数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵但对称矩阵乘积未必对称,(五)对称矩阵,对称矩阵,如果n阶矩阵A(aij)中满足aijaji(i,j1,2,n)则称A为对称矩阵,对称矩阵A的元素关于主对角线对称因此有ATA,对称矩阵的性质数乘对称矩阵及同阶对称矩阵之和仍为对称矩阵但对称矩阵乘积未必对称,对任意矩阵AATA和AAT都是对称矩阵,例1设A与B是两个n阶对称矩阵证明当且仅当A与B可交换时AB是对称的,由于A与B都是对称矩阵所以ATABTB如果ABBA则有,证,所以AB是对称的,(A
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