闻邦椿非线性振动第9章 慢变参数系统的渐近法

.,第九章慢变参数系统的渐近法,9.1慢变参数自治系统的渐近法9.2慢变参数非自治系统的渐近法9.3应用举例,.,第九章慢变参数系统的渐近法,9.1慢变参数自治系统的渐近法在非线性微分方程中,若质量、阻尼、刚度或干扰力随时间慢变,则该系统为慢变参数系统。所谓慢变,是指这些参数与时间的自然单位(振动周期)相比变化很慢。这些参数要经历多个振动周期后变化才较明显。例如,火箭发射过程中,由于燃料不断地燃烧和消耗,火箭的整体质量是随时间而慢变的。大型燃气轮机、发电机和电动机等回转机械上的转子,当转轴表面产生裂纹时,随着裂纹的逐步扩展和加深,转子刚度会发生明显变化。矿井提升机提升罐笼,罐笼与钢绳组成的振动系统的振动质量和刚度会随钢绳的缩短或伸长而缓慢变化。挖掘机的铲斗的振动,当考虑斗杆向前推进或往后退缩时,可视为一长度慢变的摆。采用改变支承刚度的办法来控制转子系统过共振区时的振动的过程中,支承刚度是慢变的。装有惯性激振器的振动机的起动过程是属于干扰力慢变的振动系统。再如智能结构的形状或位置发生变化的动态过程多数也属于慢变过程。,.,对于自治的慢变参数系统,如果干扰力是小量,则系统的微分方程式可表示为(9-1)式中慢变时间,;小参数;慢变质量；慢变刚度；非线性作用力。在带有慢变参数的振动系统中，固有频率是慢变时间的函数。我们假设方程的解有以下形式(9-2),.,式中和是时间的周期函数,是角的以为周期的函数。设该非线性系统的等效阻尼比和等效固有频率表示为小参数的幂级数的形式,即当求得后,便可求出和。(9-3),.,式中固有频率和前两章相同，渐近法的核心问题是如何确定。为了求出上述未知系数,方程的左边表示为上述未知系数的函数,将方程的右边展为泰勒级数,令方程两边的同次幂的系数相等,得(9-4),.,式中（9-5）式中和是函数关于位移和速度的一阶导数。,.,为了单值地确定的值,要求在中不包含一次谐波,利用这一条件进行相应的运算以后,可求得(9-6)由上式可求出方程的第一近似解(9-7)式中(9-8),.,等效阻尼比和等效固有频率可表示为(9-9)这时有(9-10),.,在二次近似解中,同样是中不包含一次谐波，由方程(9-4)第二式得(9-11),.,所以,二次近似解为(9-12)式中(9-13),.,例9.1.1摆的长度慢变的单摆的微分方程式如下取这时,上式可写为,.,根据前述方法可求得第一近似解为设初始条件：当t=0时，。对方程组第二个方程进行积分，得从第三个方程,可求得,.,9.2慢变参数非自治系统的渐近法9.2.1周期激振力作用下的慢变参数非线性系统对于周期激振力作用下的慢变参数系统,其运动方程式作适当变换之后,可表示为(9-14)式中慢变时间,;小参数;慢变质量；慢变刚度；关于的周期为的非线性函数与慢变参数的自治系统类似,慢变参数的自治系统的固有频率是慢变时间的函数。,.,首先我们将非线性函数展为富氏级数(9-15)设方程的解有以下形式(9-16)式中的和是时间的周期函数,是的以为周期的函数,当求得后便可求出和。(9-17),.,式中固有频率。为了求出,我们采用谐波平衡方法,即(9-18)方程的一次近似解为(9-19)式中的和是时间的周期函数,可由下式求出(9-20),.,未知函数可由下式求出(9-21)式中为上的整数(9-22),.,如求方程的二次近似解,可设(9-23)式中(9-24)而可由下式求出(9-25),.,式中的n和满足以下条件(9-26)和可由下式决定(9-27)式中的周期为的周期函数。由此可求出方程的二次近似解可由式(9-24)(9.27)求,出。,.,9.2.2干扰力为慢变的非线性系统(9-28)式中。方程的第一近似解为(9-29)式中和是时间的周期函数,可由下式求出(9-30),.,为了求出未知函数,我们求(9-31),.,方程的左端可写为(9-32)而方程的右端可写为(9-33),.,式中(9-34)和可由下式求出(9-35)由此可求出(9-36),.,于是一次近似方程具有以下形式(9-37)利用第八章中已采用的符号,上式可写为(9-38),.,而可由下式求出(9-39)由此可求出方程的一次近似解与二次近似解。,.,9.3应用举例例9.3.1分析如下受简谐激励作用的非线性振动器在其激励力幅和激励频率慢变、通过共振时的强迫振动。(1)式中m,n,c,d,E为正常数。按下式引入无量纲坐标x1和时间t1：(2),.,这样原方程成为（略去x1和t1的下标）：(3)其中。假定系统中摩擦很小()，外力力幅和系统偏离平衡位置量也较小()。记:(4)系统方程的第一次近似解为:(5),.,其中a和由如下第一次近似的微分方程组确定():(6)先研究系统的平稳状态。这时，此外应有。由上式得到振幅和外力频率之间第一次近似时的关系:(7),.,设方程的第一次近似解为(10)方程中非线性项为(11)设慢变质量和慢变刚度为(12),.,由此得出的幅频响应曲线和相频响应曲线(解和激励均用正弦表示，故相位角改为（），如图9-1(参数取值)。现在研究系统通过共振的情况。设外力频率是时间的线性函数(8)把值代入方程组,进行数值积分。在两种通过速度的情况下()如图9-2所示:,.,例9.3.2矿山提升机罐笼与钢绳组成的振动系统的方程为:(9)其中mp为不变质量,为单位长度钢绳的质量,g为重力加速度,A为钢绳断面积,E为弹性模量,c为阻尼系数,为钢绳长度,为慢变时间。求:1)该系统的等效固有频率和等效阻尼系数;2)一阶近似解的振幅a和相位的控制方程;3)给出产生自激振动