第二章-Z变换PPT课件

第二章Z变换,.,2,讨论z变换的目的：,离散系统可以用差分方程表示：,在数字信号处理中，离散系统就是数字滤波器，要分析数字滤波器就要解差分方程，但直接解起来很麻烦，所以利用z变换把差分方程转化为代数方程，使求解过程简化。LT微分方程,.,3,Z变换的表示：,2.1Z变换,双边z变换：,单边z变换：,Z为复数，以z的实部为横坐标，z的虚部为纵坐标，可以构成一个z平面,.,4,2.2收敛域,1、定义：使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域。2、收敛条件：（级数的收敛条件）X(z)收敛的充要条件是绝对可和。,.,5,一、有限长序列,例1：求序列的Z变换及收敛域。,收敛域为：,.,6,例2：求序列的Z变换及收敛域。,解：,其收敛域应包括即充满整个Z平面。,.,7,零极点,为有理分式，,D(z)=0的根称为z变换的极点，N(z)=0的根称为z变换的零点。,极点与收敛域的关系：收敛域不包含极点，收敛域总是以极点为收敛边界，收敛圆必然通过极点。零、极点分为单根和重根，单根又分为实根和共轭复根（若为复根，必然是共轭的，因为系数是实数），滤波器设计只考虑单根的情况。,.,8,二、右边序列,例3：求序列的Z变换及收敛域。,Zu(n)的极点为1，零点为0收敛域为|z|1,.,9,零极相消,例：,零、极点均为z=1,称为零极点相消。收敛域为整个z平面。,另：,.,10,例4：求序列的Z变换及收敛域。,当时，这是无穷递缩等比级数。,解：,.,11,例5：求序列的Z变换及收敛域。,三、左边序列,左边圆内右边圆外,.,12,四、双边序列,例6：,，|a|1,双边序列的收敛域是左边序列和右边序列z变换的公共收敛区间。,|a|z|1/|a|,.,13,课本P27表2.1,作业2.1(2)(6),.,14,2.3z变换性质1,一、线性:,二、时移：,Za1x1(n)+a2x2(n)=a1Zx1(n)+a2Zx2(n),Zx(n)=X(z),Zx(n-m)=z-mX(z),意义：z-1：单位延迟器,.,15,z变换性质2,三、时域卷积：,系统函数：,.,16,2.4z反变换,部分分式法：,再利用已知的z变换：,X(z)一般是z的有理分式，可写成X(z)=N(z)/D(z)，而N(z)、D(z)一般是实系数多项式，则X(z)可以写成部分分式之和的形式,结合收敛域写出反变换：,.,17,需要注意的问题：,极点zk，为D(z)=0的根,利用已知z变换时，注意收敛域,计算系数Ak时，要写成：,.,18,例2-4-1：,（在滤波器的设计中，分子、分母通常写成负幂的形式）,配分法：,.,19,求系数Ak,.,20,例2-4-2：,利用z变换的时移性质：,令：,则：,.,21,长除法-原理,即D(z)除以N(z)的商为z的多项式，多项式的系数即为序列x(n),左边序列对应z的正次幂的系数，右边序列对应z的负次幂的系数,.,22,长除法-例子,为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列,.,23,为了得到z的正次幂的多项式，将除数和被除数按z的升幂排列,.,24,极点分为：实极点、复极点若为复极点必然是共轭极点，必然是成对出现,例：,因为D(z)的系数是实数，所以复极点必然成对出现,作业2.3,.,25,2.5Z变换与Laplace变换、序列的傅里叶变换的关系,LT主要问题：收敛域、极点、反变换,常用的LT：,一、Z变换与Laplace变换的关系,利用LT可以得到连续系统的一些性质，利用z变换可以得到离散系统的系统函数，而在设计数字滤波器时可以先设计AF，再通过代换得到DF,所以AF和DF的关系就可从LT与z变换的关系得到。,.,26,S平面与Z平面的映射关系,连续信号xa(nT)抽样后为,抽样信号的拉氏变换为,抽样序列x(n)=xa(nT)的z变换为,比较两式得s平面到z平面的映射关系为：,（主要应用于AF到DF转换）,.,27,将s平面用直角坐标表示：，横坐标为，纵坐标为模拟角频率；将z平面用极坐标表示：，横坐标为实轴，纵坐标为虚轴；两平面都是复平面。,.,28,=0,即S平面的虚轴r=1,即z平面单位圆；,1,即z的单位圆外。,(1)r与的关系,r0，0时，0，即z平面的原点映射到s平面的实轴上负无穷远处。,.,29,=T,从，所以在一个周期内：为/T/T,(2)与的关系（=T）,的取值范围是从-（负频端无意义，只是用于数学分析），而在圆周上变化，具有明显的周期性，以2为周期，这样的对应关系非单值关系，所以要把限制在一个周期内。,.,30,=0，S平面的实轴，=0，z平面正实轴；=0(常数)，S：平行实轴的直线，=0T,z：始于原点的射线；,ReZ,.,31,二、Z变换与FT的关系,傅里叶变换是拉氏变换在s平面的虚轴上的特例，由于s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上，因此抽样序列在单位圆上的z变换就是它的傅里叶变换。,.,32,各个变换的关系：,.,33,2.6离散系统的系统函数和系统的频率响应,一、离散系统的系统函数,1、差分方程和系统函数的关系,系统的差分方程为：,对方程两边做z变换，得：,整理得系统函数为：,.,34,2、H(z)和单位抽样响应h(n)的关系,当输入x(n)=(n)时，输出y(n)称为单位抽样响应h(n)。,.,35,3、注意的问题：系统的稳定性和因果性,a、从系统的单位抽样响应分析：,对于线性移不变系统，若nR)，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统；,若当z=1