-偏导数在经济分析中的应用.ppt

边际与偏弹性最值在经济中的应用,第六节偏导数在经济分析中的应用,一、边际与偏弹性,在一元函数微分学中，我们引入了边际与弹性的概念，,这些概念可以推广到多元函数微分学中,表示z=f(x,y)在点对x的边际.,其含义为:在点处,当y保持不变,而x改变一个单位时,z=f(x,y)近似改变个单位.,表示z=f(x,y)在点对y的边际.,1.边际,其含义为:在点处,当x保持不变,而y改变一个单位时,z=f(x,y)近似改变个单位.,本节以生产函数为例来说明边际与偏弹性的概念.,生产函数指的是一定的投入品组合与之所能生产的最大产量之间的关系,设投入品：劳动和资本，则生产函数可以用二元函数表示为,一种投入的边际(物质)产量(marginalphysicalproduct)是在其它投入固定不变时，多使用一单位这种投入的额外产量.用数学公式表示，有,资本的边际产量,投入要素的边际产量,劳动的边际产量,例如,消费者行为:效用与边际效用,表示每增加一个单位商品qx的消费所得到的总效用的增加量.,表示每增加一个单位商品qy的消费所得到的总效用的增加量.,边际效用是递减的,随着一个人所消费的某种商品的数量增加,其总效用虽然递增,但该物品的标边际效用却是递减的趋势.,2.弹性,考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:,当时,称为z=f(x,y)在点处对x的弹性函数.记为.,即,同样,z=f(x,y)在点处对x的弹性函数:,其含义为:在点处,当y保持不变,而x改变1%时,z=f(x,y)近似改变.,其含义为:在点处,当x保持不变,而y改变1%时,z=f(x,y)近似改变.,产出关于投入要素的偏弹性,产出关于投入要素的偏弹性是产出关于某个投入要素的相对变化率.,产出关于资本的偏弹性,产出关于劳动的偏弹性,设生产函数,（注：这个函数称为柯布道格拉斯(Cobb-Douglas)函数）,解(1)劳动投入的边际产量为,例,于是，劳动投入的边际产量单调减少.,则产出关于劳动投入的偏弹性为,(3)由得,Q=1时,关于L的弹性.,例,我们以利润最大与约束成本最小为例来说明多元函数的无条件极值和条件极值在经济学中的应用.,.利润最大,为投入要素，,二、最值在经济分析中的应用,则这是一个无约束的极值问题，利润最大化的条件是：,上式可写为,其中,表示投入要素的边际产量.,在经济学中，产出的价格p与第i种投入要素的边际产量的乘积称为第i种投入要素的边际产品价值,记为,.于是，利润最大化的必要条件也可表示为,上式的经济意义是:当利润达到最大时,每一投入要素的边际产品价值等于该投入要素的价格.,上式的经济意义是:当利润达到最大时,两种投入要素的边际产出之比等于投入要素的价格之比.,利润极大化的二阶充分条件为,由于二阶充分条件可简化为,解利润函数为,其中产品价格为p=2，劳动投入的价格为w=4,资本投入的价格为r=3,在劳动与资本投入严格大于零的条件下,求使利润取得最大时的投入水平和最大利润,设生产函数为,其定义域为开区域,由利润最大化的一阶必要条件，有,例,故驻点(8,16)是利润函数的极大值点.,由问题的实际意义知(8,16)也是利润函数的最大值点.,从而当劳动投入为8、资本投入为16时利润最大,最大利润为,2.约束成本最小,若厂商的目标是在产量为y0(y0为常数)时使成本最小化,则厂商应在产量约束的条件下，选择投入要素x1与x2的值,使成本函数取最小值.,为投入要素，投入要素的价格为，则成本函数为,这是一个条件极值问题，其数学模型为,构造拉格朗日函数,约束成本最小化的一阶必要条件是,在上述方程组中消去可得,即,设生产函数为,上式的经济意义是:当约束成本达到最小时,两种投入要素的边际产量之比等于投入要素的价格之比.,设两种投入要素的价格为,求当产量为12时生产成本取得最小的投入水平.,化简，可得等价问题,解,例,建立方程组,由(1),(2)得,构造拉格朗日函数,时，生产12个单位产量的成本取得最小值,由问题的实际意义知，当两种投入要素分别为,解由题意知：成本函数为C(K,L)=4K+3L，,收益函数为R(K,L)=Qp=2Q，则,(1).此问题属于无条件极值.,则最大利润为,则可令函数F(x,y,)=G(K,L)+(4K+3L60),则由方程组,其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，q1和q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是,假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是,练习,其中q表示该产品在两个市场的销售总量，即,如果该企业实行价格差别策略，假设每个市场的销售,(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的统一销售价格，使该企业的利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小,解(1)根据题意,总利润函数为,价格都严格大于零，试确定两个市场上该产品的销售价格，使该企业获得最大利润在企业获得最大利润时，比较两个市场的需求价格弹性；,则p1=10(万元/吨),p2=7(万元/吨).,因为驻点(4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到,最大利润值为L=45万元.,(2)若实行价格无差别策略，则,于是有约