傅里叶变换本质及其公式解析

傅立叶变换的本质傅立叶变换的公式是傅立叶变换也可以转换成另一种形式：可见，傅里叶变换的本质是内积，三角函数是正交函数的全集，不同频率的三角函数之间的内积为0，只有等频率的三角函数做内积时，内积才不是0。傅立叶变换的含义由以下公式解释因为傅里叶变换的本质是内积，所以当计算f(t)和内积时，只有f(t)中有频率的分量才会有内积的结果，而其他分量的内积将是0。它可以理解为f(t)上的投影。整数值是时间从负无穷大到正无穷大的积分。它是每次信号分量的叠加。它可以理解为f(t)上投影的叠加。叠加结果是具有频率的分量，形成频谱。傅里叶逆变换公式是逆傅立叶变换的含义由以下公式分析傅里叶逆变换是傅里叶变换的逆过程。当内积通过求和来计算时，只有时间T的分量的内积会有结果，而其他时间分量的内积会有结果0。相同的积分值是从负无穷大到正无穷大的频率积分，也就是说，在时间T的每个频率的信号分量相加，相加的结果是在时间T的f(t)的值，它返回到我们观察到的信号的原始时域。对信号进行傅里叶变换然后直接进行逆变换是没有意义的。在傅里叶变换和逆傅里叶变换之间有一个滤波过程。不需要的频率成分被滤除，然后执行逆变换以获得期望的信号。例如，如果信号与噪声混合，则可以通过滤波器去除噪声信号的频率，然后执行逆傅立叶变换以获得无噪声信号。优点：频率定位良好，信号中包含的频率成分，即频谱，可以通过信号的良好频率分辨率清楚地获得。缺点：因为频谱是从负无穷大到正无穷大的时间的叠加，知道某个频率不能确定该频率的时间位置。不可能判断某一段时间的频率成分。示例：稳态信号：x(t)=cos(2 * pi * 5 * t)cos(2 * pi * 10 * t)cos(2 * pi * 20 * t)cos(2 * pi * 50 * t)傅立叶变换的结果：由于信号是稳定的，而且各处的频率都相等，因此无法看出傅里叶变换的缺点。对于非平稳信号：信号是余弦信号，仍然有四个频率分量傅立叶变换的结果：从上图可以看出，如果某个频率是已知的，则不能对其进行判断，并且可以确定该频率的时间位置。不可能判断某一段时间的频率成分。短时傅里叶变换傅里叶变换有一个严重的缺点，即不能实现时频联合分析。傅里叶变换应该从负无穷大计算到正无穷大，这与实时分析有很大的矛盾。针对这一缺点，提出了一种短时傅里叶变换。后来的时频分析也是基于短时傅里叶变换。为了弥补傅里叶变换的缺陷，在信号中加入一个窗函数，在对信号加窗后计算窗函数的傅里叶变换。加窗后，在很短的时间内就可以得到局部谱。窗函数可以根据时间位置的变化沿整个时间轴移动，利用窗函数可以得到任意位置附近的时间谱，从而实现时间定位。短时傅里叶变换的公式是：在时域中，使用窗函数来截断信号，并且对截断的局部信号执行傅立叶变换，即，在时间t对该信号段获得傅立叶变换，并且通过连续移动t，即，连续移动窗函数的中心位置，可以获得不同时间的傅立叶变换，从而可以获得时频分析。短时傅里叶变换的本质是像傅里叶变换一样的内积，但它被用来实现局部信号的频谱分析。sho的另一种形式缺点：短时傅立叶变换使用固定窗口函数。一旦窗口函数被确定，它的形状将不再改变，并且短时傅立叶变换的分辨率将被确定。如果你想改变分辨率，你需要重新选择窗口功能。短时傅里叶变换可用于分析分段平稳信号或近似平稳信号，但对于非平稳信号，当信号剧烈变化时，要求窗函数具有更高的时间分辨率。然而，当波形轻微变化时，主要是低频信号，需要窗口功能的较高频率分辨率。短时傅里叶变换不能满足频率和时间分辨率的要求。不确定性原理告诉我们，在时间和频率两个空间中，不可能以任意精度逼近被测信号，因此在信号分析中有必要选择时间或频率的精度。短时傅里叶变换受不确定性原理的限制，因此短时傅里叶变换窗函数的时间和频率分辨率不能同时优化。在实际使用中，根据实际情况选择合适的窗口功能。示例：原始信号：是具有四个频率分量的余弦信号。当窗口功能选择为：，短时傅立叶变换是：从上图可以看出，时域中的分辨率相对较好，但是频率具有一定宽