微机控制技术第五章（2011）

1,第五章直接数字控制及其算法,1.了解直接数字控制器的实现方法，熟悉大林（Dahlin)算法；2.掌握最少拍随动系统的设计方法，掌握最少拍无波纹随动系统的设计方法。,本章学习要求:,2,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,（3）数字控制器必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。,最少拍随动系统的设计任务就是设计一个数字调节器，使得,（1）使系统到达稳定时所需要的采样周期最少；,（2）系统在采样点的输出值能准确地跟踪输入信号，不存在静差；,对任何两个采样周期中间的过程则不作要求。在数字控制过程中，一个采样周期称为拍。,3,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,一、最少拍随动系统的脉冲传递函数,广义对象的脉冲传递函数,闭环系统脉冲传递函数,数字控制器脉冲传递函数,输出信号脉冲传递函数,输入信号脉冲传递函数,4,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,一、最少拍随动系统的脉冲传递函数,其闭环脉冲传递函数,最少拍随动系统误差Ge的z传递函数,最少拍随动系统的数字控制器,5,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,一、最少拍随动系统的脉冲传递函数,在最少拍随动系统的数字控制器表达式中，广义对象的脉冲传递函数G(z)是零阶保持器和被控对象所固有的，一旦被控对象被确定，G(z)是不能改变的。但是，误差传递函数Ge(z)是因不同的典型输入而改变的，(z)则根据系统的不同要求来决定。因此，当(z)、G(z)、Ge(z)确定后，便可根据上式求出最少拍随动系统的数字控制的脉冲传递函数D(z)，它是设计数字控制器的基础。,6,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,一、最少拍随动系统的脉冲传递函数,在一般的自动调节系统中，有三种输入形式：,1.单位阶跃输入：,R(t)=1(t)，,2.单位速度输入:,R(t)=t，,(T为采样周期),3.单位加速度输入：,由此可得出调节器输入共同的z变换形式:,7,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,一、最少拍随动系统的脉冲传递函数,为了使误差函数成为尽可能少的有限项，必须合理地选择Ge(z)。,若选择,Mm,当选择Mm且F(z)=1时，不仅可以简化数字调节器，降低阶数，而且还可以使E(z)的项数最少，因而调节时间ts最短。,8,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,一、最少拍随动系统的脉冲传递函数,对于不同的输入，可以选择不同的误差z的传递函数Ge(z),三种典型输入的最少拍系统,9,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,例5-1设最少拍随动系统如图5-1所示。被控对象的传递函数，采样周期T0.5s，试设计一个在单位速度输入时的最少拍数字控制器。,解：根据图4-1可写出该系统的广义对象脉冲传递函数,10,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,11,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,由于输入r(t)=t，由表查得,Ge(z)=(1-z-1）2,所以，由上式可写出数字控制器脉冲传递函数为：,另外，由C（z）=R(z)(z),可求得系统的输出为：,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,12,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,分析一下数字控制器D(z)对系统控制效果。由表可以查出系统闭环脉冲传递函数：,当输入为单位速度信号时，系统输出序列的Z变换为：,上述式中各项系数，即为C(t)在各个采样时刻的数值。C(0)=0,C(T)=0,C(2T)=2T,C(3T)=3T,C(4T)=4T,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,13,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,输出响应曲线，如图所示,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,点上重合，过程震荡。,14,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,再来看一下，当输入为其它函数时，输出响应的情况,设输入为单位阶跃函数时，输出量的Z变换为,输出序列为：C(0)=0,C(T)=2,C(2T)=1,C(3T)=1,C(4T)=1,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,15,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,再来看一下，当输入为其它函数时，输出响应的情况,若输入为单位加速度时，则输出量的Z变换为：,由此可得：C(0)=0,C(1T)=0,C(2T)=T2,C(3T)=3.5T2,C(4T)=7T2,输入序列r(0)=0,r(T)=0.5T2r(2T)=2T2,r(3T)=4.5T2,可见，输出响应与输入之间始终存在着偏差，如图所示。,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,16,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,由以上分析可以看出，按照某种典型输入设计的最少拍系统，当输入形式改变时，系统的性能变坏，输出响应不一定理想。这说明最少拍系统对输入信号变化的适应性较差。在前面讨论的最少拍系统D(z)设计过程中，对被控对象G(s)并未提出具体限制。实际上，只有当广义对象的脉冲传递函数G(z)是稳定的，即在单位圆上或圆外没有零、极点，而且不含有纯滞后环节z-1时，所设计的最少拍系统才是正确的。如果上述条件不能满足，就对上述设计原则作相应的限制。,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,17,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,由上式可导出系统闭环系统传递函数得：,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,18,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,为了保证闭环系统稳定，其闭环脉冲传递函数(z)的极点应全部在单位圆内。若广义对象G(z)中有极点存在，则应用D(z)或Ge(z)的相同零点来抵消。G(z)的不稳定极点通常由Ge(z)来抵消，给Ge(z)增加零点的后果是延迟了系统消除偏差的时间。G(z)中出现的单位圆上（或圆外）零点（或z-1）则既不能用Ge(z)中的极点来抵消，也不能用D(z)中的极点来抵消，因为这样会导致数字控制器D(z)的不稳定。而对于G(z)中纯滞后环节，也不能由D(z)来消除，因为这样将使计算机出现超前输出，这实际是无法实现的。因此广义对象G(z)中的单位圆外零点和z-1因子，必须还包括在所设计的闭环脉冲传递函数(z)中，这将导致调整时间的延长。综上所述，闭环脉冲传递函数(z)和误差传递函数Ge(z)的选择必须有一定的限制。,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,19,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,（1）数字控制器D(z)在物理上应是可实现的有理多项式,其中，ai(i=1,2,3,4,n)和bj(j=0,1,2,m)为常数，且nm。,（2）G(z)在单位圆上或圆外的极点都应由Ge(z)的零点来抵消。,（3）G(z)中在单位圆上或圆外的零点都应包含在(z)1Ge(z)中。,（4）(z)=1-Ge(z)应为z-1的展开式，且其方次应与Ge(z)中的z-1因子的方次相等。,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,20,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,例52设最少拍随动系统被控对象的传递函数为,设采样周期T0.5S，试设计单位阶跃输入时的最少拍数字控制器D(z)。,解：该系统广义对象的脉冲传递函数为：,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,21,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,上式中包含有z-1和单位圆外零点z-1.4815，为满足限制条件中（3）、（4）两条，要求闭环脉冲传递函数(z)中含有（11.4815z-1）项及z-1的因子。又因为式中含有一个极点(z=1)在单位圆上，因此，根据限制条件（2），Ge(z)必须有一个z=1的零点。故可得：,式中，a、b为待定系数，由上述方程组可得：,比较等式两边的系数,由此可解得选定系数a=0.403b=0.597,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,22,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,代入方程组，则,数字控制器的脉冲传递函数为,上述控制器在物理上是可以实现的。离散系统经过数字校正后，在单位阶跃作用下，系统输出响应的Z变换为：,=0.403z-1+z-2+z-3+,23,第五章直接数字控制及其算法,第一节最少拍随动系统的设计,由此可得，C(0)=0,C(T)=0.403,C(2T)=C(3T)=1。其输出响应特性曲线，如图所示。由于闭环Z传递函数包含了单位圆外零点，所以系统的调节时间延长到两拍。,二、最少拍随动系统数字控制器的设计,24,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,在最少拍随动系统设计中，系统对输入信号的变换适应能力比较差，输出响应只保证采样点上的误差为零，不能确保采样点之间的误差值也为零。也就是说，在最少拍系统中，系统的输出响应在采样点之间有波纹存在。输出波纹不仅会造成误差，而且还会消耗执行机构驱动功率，增加机械磨损。因此，我们希望系统的输出响应要快，同时在采样点之间没有波纹，这就是本节所要讲的最少拍无波纹系统。与第一节讲的最少拍系统相比，增加了无波纹要求。,25,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,参照图不难看出，产生波纹的原因是，在零阶保持器的输入端，也就是数字控制器的输出经采样开关后达不到相对稳定，即U(k)值不稳定，因而使系统输出C(t)在采样点之间产生波动。如果输入偏差E(k)=0，保持器的输入脉冲序列为一恒定值，那么输出量C(t)就不会在非采样点间产生波纹。由此可知，最少拍无波纹系统除保证输出为最少拍外，还必须使U(z)稳定。由图可以看出：U(z)=D(z)E(z)=D(z)Ge(z)R(z)根据上式可以证明，只要D(z)是z-1的有限多项式，那么，在确定的典型输入作用下，经过有限拍以后，U(z)达到相对的稳定，从而保证系统输出无波纹。,26,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,一、单位阶跃输入最少拍无波纹随动系统的设计,已知单位阶跃输入的z变换：,如果：D(z)Ge(z)=a0+a1z-1+a2z-2,则有：,由式可得：,u(0)=a0u(1T)=a0+a1u(2T)=u(3T)=a0+a1+a2,由此可见，从第二拍起，U(k)就稳定在a0+a1+a2上。当系统含有积分环节时,a0+a1+a2=0。,27,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,二、单位速度输入最少拍无波纹随动系统的设计,单位速度输入的z变换：,仍设：,D(z)Ge(z)=a0+a1z-1+a2z-2,则有：,由此可得：u(0)=0，u(T)=Ta0,u(2T)=T(2a0+a1)u(3T)=T(3a0+2a1+a2)=u(2T)+T(a0+2a1+a2)u(4T)=T(4a0+3a1+2a2)=u(3T)+T(a0+2a1+a2),由此可见，当k3，U(kT)=U(kT-T)+T(a0+2a1+a2),28,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,二、单位速度输入最少拍无波纹随动系统的设计,若系统中含有积分环节时,a0+2a1+a2=0，最少拍从第二拍起即k2时，u(kT)=u(kT-T)=T(2a0+a1),如果系统中不包括积分环节，即a0+2a1+a20，则最少拍从第二拍起，u(k)作匀速变化。最少拍无波纹随动系统在单位速度输入情况下，各点波形，如图所示。,29,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,二、单位速度输入最少拍无波纹随动系统的设计,30,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,三、最少拍无波纹随动系统设计举例,为了使u(kT)为有限拍，应使D(z)Ge(z)为z-1的有限多项式。,由上面的式子可以看出，G(z)的极点不会影响D(z)Ge(z)成为z-1的有限多项式，而G(z)的零点到是有可能使D(z)Ge(z)成为z-1的无限多项式。因此，要使(z)的零点包含G(z)的全部零点，而在最少拍随动系统中，则只要求(z)包括G(z)的单位圆上（z-1=1除外）和单位圆外的零点，这是有无波纹系统设计最少拍随动系统设计之间的根本区别。,31,例53设如图所示的最少拍随动系统中，被控对象，采样周期T=1s，试设计一单位阶跃输入时的最少拍无波纹控制器D（z）。,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,三、最少拍无波纹随动系统设计举例,解：广义对象的传递函数：,经Z变换后可得广义对象的脉冲传递函数：,32,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,三、最少拍无波纹随动系统设计举例,由上式可知，G(z)具有z-1因子，零点z1=-0.847和单位圆上的极点P1=1。根据前面的分析，闭环Z传递函数（z）应包括z-1因子和G(z)的全部零点，所以有：(z)1-Ge(z)=az-1（1+0.847z-1）Ge(z)应由输入形式G(z)的不稳定极点和(z)的阶次决定。所以：Ge(z)=(1-z-1)(1+bz-1)式中的a、b为待定系数。将上两式联立，得(1-b)z-1+bz-2=az-1+0.847az-2比较等式两侧，得：,33,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,三、最少拍无波纹随动系统设计举例,所以：Ge(z)=(1-z-1)(1+0.459z-1)(z)=0.541z-1(1+0.847z-1)将上面两式代入可求出数字控制器的脉冲传递函数：,为了检验以上所设计的D(z)是否仍是有波纹存在，看一下U(z),=2.54-1.54z,由Z变换的定义，可得：u(0)=2.54，u(T)=1.54，u(2T)=u(3T)=u(4T)=0,34,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,三、最少拍无波纹随动系统设计举例,由此可见，系统经过两拍以后，即k2，u(kT)=0。所以本系统设计是无波纹的。输出量的Z变换为：,=0.541z-1+z-2+z-3+,由此可得出输出量系列值为：C(0)=0,C(T)=0.541,C(2T)=C(3T)=1根据上述分析，可画出本系统最少拍无波纹控制的特性曲线，如图所示。关于输入为单位速度的最少拍无波纹动系统的设计，同学们可仿照上述例题自行设计。,35,第五章直接数字控制及其算法,第二节最少拍无波纹随动系统的设计,三、最少拍无波纹随动系统设计举例,36,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,前面介绍的最少拍无波纹系统的数字控制器的设计方法只适合于某些随动系统，对于系统输出的超调量有严格限制的控制系统它并不理想。在一些实际工程中，经常遇到的却是一些纯滞后调节系统，它们的滞后时间比较长。对于这样的系统，人们更为感兴趣的是要求系统没有超量或很少超调量，而调节时间则允许在较多的采样周期内结束。因此，超调是主要设计指标。对于这样的系统，用一般的随动系统设计方法是不行的，用PID算法效果也欠佳。,37,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,设被控对象为带有纯滞后的一阶惯性环节或二阶惯性环节，其传递函数分别为:,一、大林算法的D(z)基本形式,其中1、2为控制对象的时间常数；为控制对象纯延迟时间，为了简化，设其为采样周期的整数倍，即N为正整数。,38,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,一、大林算法的D(z)基本形式,大林算法的设计目标是，设计一个合适的数字控制器，使整个闭环系统的传递函数相当于一个带有纯滞后的一阶惯性环节，并且期望整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象Gc(s)的纯滞后时间相等，即：,通常认为被控对象与一个零阶保持器相串联，(z)相对应的整个闭环系统的脉冲传递函数是：,39,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,一、大林算法的D(z)基本形式,D(z)就是要设计的数字控制器，它可由计算机程序来实现。由上式可知，它与被控对象有关。下面分别对一阶或二阶纯滞后环节进行讨论。,40,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,一、大林算法的D(z)基本形式,(一）一阶惯性环节的大林算法D(z)基本形式,带纯滞后的一阶惯性环节的传递函数为：,其脉冲传递函数为：,41,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,一、大林算法的D(z)基本形式,(一）一阶惯性环节的大林算法的D(z)基本形式,由次可得：,式中：T采样周期；1被控对象的时间常数；闭环系统的时间常数；,42,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,一、大林算法的D(z)基本形式,(二）二阶惯性环节大林算法的D(z)基本形式,当被控对象为带有纯滞后的二阶惯性环节时，二阶滞后环节的传递函数为：,其脉冲传递函数为：,43,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,一、大林算法的D(z)基本形式,(二）二阶惯性环节大林算法的D(z)基本形式,其中：,由此即可求数字控制器的模型：,44,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,所谓振铃现象即是指数字控制器的输出以接近采样频率二分之一的频率时，其输出大幅度上下摆动。它对系统的输出几乎是无影响的。然而，由于振铃现象的存在，会使执行机构因磨损而造成损坏。衡量振铃现象的强烈程度的量是振铃幅度RA（RingingAmplitude）它的定义是：控制器在单位阶跃输入作用下，第0次输出幅度与第1次输出作用幅度之差值。,45,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,设数字控制器脉冲传递函数的一般形式为,其中：,控制器输出幅度的变化取决于Q(z)，当不考虑Kz-N(它只是输出序列延时)时，则Q(z)在阶跃脉冲作用作用下的输出为:,=1+(a1-b1+1)+.,故可求出振铃幅度:RA=1-(a1-b1+1)=b1-a1,46,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,振铃现象产生的根源在于Q(z)中z=1附近有极点所致。极点在z1时严重，离z1越远，振铃现象就越弱。在单位圆内右半平面有零点时，会加剧振铃现象；而在右半平面极点时，则会减轻振铃现象。大林提出一种消除振铃现象的方法，即先找出造成振铃现象的极点的因子，令其中z=1，这样便消除了这个极点。根据终值定理，这样的处理不会影响输出的稳定值，下面来分析一阶（或二阶）滞后环节的数字控制器D(z)的振铃现象及其消除方法。,47,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,（一）被控对象为一阶惯性环节,被控对象为纯滞后的一阶惯性环节时，其数字控制器D(z)为：,48,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,由此可求出振铃幅度值为：,如果选1，则RA0，无振铃现象。如果选1，则有振铃现象。由此可见，当系统的时间常数大于或等于被控对象的时间常数时，即可消除振铃现象。,49,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,由一阶惯性环节的数字控制器可得：,在z=1处的极点并不引起振铃现象，可能引起振铃现象的因子是：,当N=0时，此因子不存在，无振铃可能。,当N=1时，有一个极点在z=-(1-e-T/)。当T时，z1,T时将产生严重的振铃现象。,50,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,当N2时，极点为：,当T时，则有:,，z1将有严重的振铃现象,以N=2为例，且T消除振铃现象后，则修改的D(z)为:,51,第五章直接数字控制及其算法,第三节大林（Dahlin）算法,二、振铃现象及其消除方法,（二）被控对象为二阶惯性环节,被控对象为具有纯滞后的二阶惯性环节时，D(z)为：,有一个极点是,在0时，,即在z=-1处