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文档简介

,第一节不定积分的概念与性质,一、原函数与不定积分的概念,二、基本积分表,三、不定积分的性质,四、小结,【例】,1.【定义】,一、原函数与不定积分的概念,【原函数存在定理】：,简言之：连续函数一定有原函数(存在性).,其证明将在下一章中讨论,【问题】,(1)原函数是否唯一？,【例】,（为任意常数）,(2)若不唯一它们之间有什么联系？,【关于原函数的说明】,（1）若，则对于任意常数，,（2）若和都是的原函数，,则,（为任意常数）,【证】,（为任意常数）,由P131定理可知,2.【不定积分的定义】,【例1】求,【解】,【解】,【例2】求,【例3】设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,【解】,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,显然，求不定积分得到一积分曲线族,由不定积分的定义，可知,【结论】,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,3.【不定积分的几何意义】,4.【不定积分与微分的关系】,【实例】,【启示】,能否根据求导公式得出积分公式？,【结论】,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,【基本积分表】,是常数);,【说明】,、两式合并,【例4】求积分,【解】,根据积分公式（2）,【证】,等式成立.,（2）此性质可推广到有限多个函数之和的情况,三、不定积分的性质,右端含有积分号，故有任意常数,【注】（1）即和的积分等于积分的和；,1.【可加性】,(思考：为什么？),【特别注意】,此种情况下应设法化乘、除为加、减，再利用性质(1)可加性逐项积分,2.【数乘性】,【注】可加性和数乘性统称线性性质.,【例5】求积分,【解】,性质（1）逐项积分,【例6】求积分,【解】,【例7】求积分,【解】,【例8】,【解】,【注】这种对分子加一项、减一项或减一项、加一项的恒等变形方法以后经常用到.,变形化为和式,【例8】求积分,【解】,【说明】,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分公式.,又如（1）,先三角恒等变换,再逐项积分,先三角恒等变换,再逐项积分,等等,降幂法,【解】,所求曲线方程为,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,【思考题】,符号函数,在内是否存在原函数？为什么？,【思考题解答】,不存在.,假设有原函数,故假
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