几种插值法的应用和比较

插值方法的应用与比较信息技术部，1302万，132.7万，103.8万1格兰奇插值方法在数值分析中，拉格朗日插值多项式是一种多项式插值方法，以18世纪法国数学家约瑟夫刘易斯拉格朗治的名字命名。许多实际问题用函数来表达某些内部关系或规律，而许多函数只能通过实验和观察来理解。例如，如果在实践中观察到某个物理量，并且在几个不同的地方获得相应的观察值，拉格朗日插值多项式可以找到一个多项式。它碰巧得到每个观察点的观察值。这种多项式称为拉格朗日(插值)多项式。从数学上讲，拉格朗日插值多项式可以给出一个多项式函数，它只通过二维平面上的几个已知点。拉格朗日插值多项式最早是由英国数学家爱德华沃林在1779年发现的，不久后又被莱昂哈德欧拉发现。1795年，拉格朗日在他的书师范学校数学基础教程中发表了这种插值方法，从那以后他的名字就和这种方法联系在一起了。1.1拉格朗日插值多项式图1已知平面上的四个点： (9，5)，(4，2)，(1，2)，(7，9)，拉格朗日多项式：(黑色)通过所有点。每个基本多项式：和都通过相应的点，并在其他三个点的值取零。对于给定的点，只有一个拉格朗日多项式对应于它们的次数不超过。如果包含更高次的多项式，就有无限个多项式，因为所有不同于的多项式都满足条件。对于多项式函数，有已知的给定值：，它对应于自变量的位置和该位置的函数值。假设任意两个不同的多项式互不相同，应用拉格朗日插值公式得到的拉格朗日插值多项式为：,它们每一个都是拉格朗日基本多项式(或插值基函数)，其表达式是：,拉格朗日基本多项式的特征是顶部的值为1，其他点的值为0。例如，有一个多项式函数，其三个点的值称为：,要求的值。首先写出每个拉格朗日基本多项式：；然后，通过应用拉格朗日插值多项式，可以获得表达式(其是函数的插值函数):,此时，所需的值可以通过数值找到：1.2插值多项式的存在唯一性存在对于给定点：拉格朗日插值多项式的想法是找到一个多项式，其值在一点，其值在所有其他点。这样，多项式取值为，在其他点取得的值都是。多项式是可以满足的,其他点有值的多项式很容易找到，例如：,此时它的值为：由于假设两者互不相同，所以上述值不等于。因此，将多项式除以该值，我们得到一个多项式，它满足“点处的值为，其他点处的值都相同”:,这是拉格朗日的基本多项式。独特性至多只有一个拉格朗日多项式的次数不超过，因为对于任何两个拉格朗日多项式的次数不超过：和，它们之间的差在所有点取值，所以它必须是多项式的倍数。因此，如果差值不等于，则度数不得小于。然而，它是两个次数不超过，次数不超过的多项式之间的区别，也就是说，它证明了唯一性。1.3性质拉格朗日插值多项式中使用的拉格朗日基本多项式(由某个集合确定)可以看作是线性空间的一组基：由次数不超过的多项式组成。首先，如果有一组系数：,所以，一方面，多项式是一个满意的拉格朗日插值多项式，另一方面，它是一个零多项式，所以值总是。因此,这证明了它是线性独立的。同时，它包含一个多项式的总数，正好等于的维数。所以它形成了一套基础。拉格朗日基本多项式作为基的优点是所有的多项式都是齐次的(所有的多项式都是次多项式)。1.4优点和缺点拉格朗日插值多项式公式结构简洁，便于理论分析。然而，在计算中，当插值点增加或减少一个时，相应的基本多项式都需要重新计算，因此整个公式会发生变化，这是非常复杂的。在这种情况下，可以使用重心拉格朗日插值多项式或牛顿插值方法来代替。此外，当插值点更多时，拉格朗日插值多项式的数量可能非常高。因此，它具有数值不稳定的特点，也就是说，虽然在几个已知点上获得了一个给定值，但与附近的“实际”值有很大的偏差。这种现象也叫龙哥现象，解决方法是分段使用低次插值多项式。2重心拉格朗日插值多项式重心拉格朗日插值多项式是拉格朗日插值多项式的改进。在拉格朗日插值多项式中，使用多项式,图(2)拉格朗日插值多项式的数值稳定性：如图(2)所示，当用于模拟一个非常稳定的函数时，插值多项式的值可能突然有一个很大的偏差(图中14到15之间)拉格朗日基本多项式可以改写为：,定义重力,上述表达式可以简化为：然后拉格朗日插值多项式变成：(1)所谓的重心拉格朗日插值公式(类型1)或改进的拉格朗日插值公式的优点在于，当插值点的数量增加1时，可以通过将每个点除以来获得新的重心权重。计算复杂度为，比重新计算每个基本多项式所需的复杂度低一个数量级。使用上述拉格朗日插值多项式插值函数，我们可以得到：,因为它是多项式。因此，将提供以下内容：，(2)该公式称为重心拉格朗日插值公式(类型2)或真实重心拉格朗日插值公式。它继承了公式(1)易于计算的特点，在取值时不需要计算多项式。该公式的另一个优点是，当组合切比雪夫节点进行插值时，它能很好地模拟给定的函数，因此当插值点数趋于无穷大时，最大偏差趋于零。同时，重心拉格朗日插值与切比雪夫节点插值相结合，可以获得很好的数值稳定性。第一类拉格朗日插值是后向稳定的，而第二类拉格朗日插值是前向稳定的，并且勒贝格常数非常小。3.分段线性插值对于分段线性插值，让我们看看下面的情况。3.1问题的重新答辩已知分段线性插值用于获得插值，绘制插值结果图，并观察插值误差。1.在-6，6中选择平均5个点进行插值；2.在-6，6中选择平均11个点进行插值；3.在-6，6中选择平均21个点进行插值；4.在-6，6中选择平均41个点进行插值。3.2问题分析在数值计算中，已知数据通常是离散的。如果你想得到除这些离散点以外的其他点的函数值，你需要根据这些已知数据进行插值。但是，本主题仅提供采样点和原始函数。解决分析问题的方法如下：(1)利用已知的函数公式计算采样点对应的函数值；作为两个等长的已知向量，分别描述了采样点和采样值。因此，插值函数是一元函数，一维插值可以用来处理数据插值问题。用于一维插值的方法通常是拉格朗日多项式插值(本主题中使用三次多项式插值)、三次样条插值和分段线性插值。(2)插值分别通过上述插值方法获得。区间-6，6以0.5单位为步长进行划分，每个点作为插值函数的采样点。然后根据插值函数计算所选采样点的函数值。最后，利用得到的函数值绘制相应的函数图像，并与原始函数图像进行比较。3.3问题的假设为了解决a(2)为了获得理想的对比度函数图像，假设它是已知的标准函数。您可以选择0.5单位作为步长来划分区间-6，6，分别计算区间内采样点处插值函数和标准函数的函数值，并绘制函数图像进行比较。3.4分段线性插值原理给定一个区间，将其划分为，这些插值节点处已知函数的函数值为；找到一个分段函数来满足：、(2)在每个区间，它是一个一度的函数。很容易知道这是一个折线函数。在每个间隔中，,因此，它在世界上是连续的，但它的一阶导数是不连续的。因此，可以获得以下分段线性插值函数：,其间3.5解决问题在MATLAB中，分段线性插值、最近点插值、三次多项式插值、三次样条插值命令是interp1，其调用格式是： 1=interp1(，1， method )该函数根据的值计算1处的函数值。y是两个长度相等的已知向量，分别描述采样点和采样值。1是向量或标量，描述要插值的点，1是长度与1相等的插值结果。方法是一种插值方法，包括：线性：分段线性插值。它用直线连接靠近插值点的两个数据点，然后选择直线上相应插值点的数量。最近：近点插值。插值基于两点之间插值点之间的已知距离和两点之间的位置。当插值点远离前点时，取前点的值；否则，取后点的值。三次：三次多项式插值。根据已知数据找出一个三次多项式，然后根据多项式进行插值。样条：三次样条插值。在每一段(子区间)构造一个三次多项式，使其插值函数不仅满足插值条件，而且要求每个节点都有光滑条件。从已知数据中获得样条函数后，根据样条函数进行插值。用Matlab工具软件编写代码，分别画出下图：(1)在-6，6中，平均选择5个点进行插值：(2)在-6，6中，平均选择11个点进行插值：(3)在-6，6中选择平均21个点进行插值：(4)在-6，6中选择平均41个点进行插值3.6分段插值方法的优缺点分析从以上比较函数图像可以看出，分段线性插值的整体平滑度不够。数学上，平滑度的定量描述是函数(曲线)的阶导数存在并且是连续的，那么曲线被称为具有阶平滑度。一般来说，阶数越高，平滑度越好。分段线性插值具有零阶光滑性，即它不是光滑的。三次样条插值是一种通过低阶多项式实现高阶光滑性的方法。通常，分段线性插