复变函数与积分变换课堂PPT第三章

第三章复变函数的积分,1复变函数积分的概念,2柯西古萨基本定理,3基本定理的推广,复合闭路定理,4原函数与不定积分,5柯西积分公式,6解析函数的高阶导数,7解析函数与调和函数的关系,1复变函数积分的概念,1.积分的定义,2.积分存在的条件及其计算法,3.积分的性质,1.积分的定义,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正,向)，则将C理解为带有方向的曲线，称为有向曲线。,设曲线C的两个端点为A与B，如果将A到B的方向,作为C的正方向，则从B到A的方向就是C的负方向，,。常将两个端点中一个作为起点，另一个,作为终点，则正方向规定为起点至终点的方向。,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线。,并记作,而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此,方向沿该曲线前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P,点的左方。相反的方向就是曲线的负方向。,定义,终点为B的一条光滑有向,设w=f(z)定义在区域D内，C是D内起点为A,曲线。C任意分成n个弧,段，设分点为,的长度，,当n无限增加且,趋于零，如,有唯一极限，则称其为,f(z)沿曲线C的积分，记作,容易看出,当C是x轴上的区间axb,而f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义。,如果C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作,2.积分存在的条件及计算法,给出,正方向为参数增加的方向,参数a及b对应于起点,如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续，则,u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数。设zk=xk+ihk，,设光滑曲线C由参数方程,A及终点B,并且。,由于,所以，有下面的式子：,由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对,不论对C的分法如何，点(xk,hk)的取法如何，上式,右端的两个和式的极限都是存在的。因此有,上式在形式上可以看作是,与,所以是比较容易记住的。,相乘后求积分得到：,而且上式说明了两个问题：,i)当f(z)是连续函数而C是光滑曲线时，积分,是一定存在的。,可以通过两个二元实变函数的线积分,来计算。,根据线积分的计算方法，有,上式右端可以写成,所以,今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续,的，曲线C是按段光滑的。,如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则定义,解直线的方程可写作,或,在C上,。于是,又因,容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以,的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，,都等于,解直线的方程可写作,计算积分,例分别沿y=x与,在C上,。于是,抛物线的方程可写作,在C上,。于是,的正向圆周,n为整数。,例2计算,其中C为以z0为中心,r为半径,当n=0时，结果为,所以,解C的方程可写作,这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周,的中心和半径无关，应当记住。,所以,这是因为,1)沿原点到点,例3计算,的值，其中C为,所接成的折线。,解,的直线段,2)沿从原点到点,的直线段,段,3.积分的性质,则,(k为常数),复函数的积分也有下列一些简单性质，与实变函,数中定积分的性质类似的：,线因此便得不等式的第一部分，又因,两端取极限，得,两点之间的弧段的长度，所以,所以,这是不等式的第二部分。,绝对值的一个上界。,例4,设C为从顶点到点3+4i的直线段，试求积分,解,C的方程为,。由估值不,等式得,从而有,而,，所以,在C上，,2柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理,或沿封闭曲线的积分值为零的条件，可能与被积函数,的解析性及区域的单连通性有关。究竟关系如何，不,妨先在加强条件下做些初步探讨。假设f(z)=u+iv在,单连通域B内处处解析，且,连续的，且满足柯西-黎曼方程,从上节的几个例题中思考，积分的值与路线无关,在B内连续。由于,所以u和v以及它们的偏导数,在B内都是,则有,其中C为B内任何一条简单闭曲线，从格林公式与柯西-,黎曼方程(路线C取正向)得,其中D是C所围的区域,所以上式的左端为零。,闭曲线的积分为零。实际上，,是不必要的。因此有下面一条在解析函数理论中最基,本的定理。,因此在上面的假设下，函数f(z)沿B内任何一条,在B内连续的假设,柯西-古萨基本定理,内处处解析,则在B内任何一条封闭曲线C的积分为零:,如果函数f(z)在单连通域B,定理中曲线C可以不是简单曲线。,这个定理又称柯西积分定理。,柯西-古萨基本定理成立的条件之一是曲线C要,属于区域B。如果曲线C是B的边界,函数f(z)在B内与,解析，甚至f(z)在B内解析,在闭,区域B+C上连续,则f(z)在边界上,C上解析，即在闭区域B+C上,的积分仍然有,解由积分运算的性质可知,的正向,例计算积分,其中,利用柯西古萨基本定理,因此有,3基本定理的推广,复合闭路定理,在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域,里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。,设函数f(z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条,简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分,设C及C1为D内任,方向)简单闭曲线,C1,就不一定为零。,意两条(正向为逆时针,在C内部,且以C及C1,为边界的区域D1全含,于D。,D1,其中A,B在C上,AB,D内的简单闭曲线,。如右图，,及,在C1上构成两条全在,作两条不相交的弧线,分析，得知,将上面两等式相加,得,D1,D1,将上面两式相加,得,即,或,上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不,因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值,只要在变,形过程中不经过函数,闭路变形原理。,变形过程中不能够经过f(z)不解析的点,一重要事实，称为,f(z)不解析的点。这,闭曲线,C1,C2,.,Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包,含也互不相交,并且以C,C1,C2,.,Cn为边界的区域全含,于D。如果f(z)在D内解析,则,设C为多连通域D内的一条简单,定理(复合闭路定理),为由C及Ck(k=1,2,.,n),所组成的复合闭路(C按,顺时针,Ck按逆时针)。,例如从本章1的例2知:当C为以z0为中心的正向,所以，根据闭路变形原理，对于包含z0的任何一条正向,圆周时,解函数,的任何正向简单闭曲线。,是处处解析的。,线,因此,它也包含这两个奇点。,在G内作两个互不包含也互不,相交的正向圆周C1与C2，C1只,例计算,在复平面内除z=0和z=1两个奇点外,包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。,则根据复合闭路定理可得,从这个例子可以看到：借助于复合闭路定理，有些,比较复杂的函数的积分可以化为比较简单的函数的积分,来计算它的值。这是计算积分常用的一种方法。,解函数,的正向。,外是处处解析的。,C内作三个互不包含也互不相交的,正向圆周C1，C2，C3，C1只包含,例计算,在复平面内除z=0,i,-i三个奇点,由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在,奇点z=0，C2只包含奇点z=i，,C3只包含奇点z=-i。,则根据复合闭路定理可得,解函数,的正向。,外是处处解析的。,C内作三个互不包含也互不相交的,正向圆周C1，C2，C3，C1只包含,例计算,在复平面内除z=0,i,-i三个奇点,由于C是圆周|z-3|=1,它包含这三个奇点。因此在,奇点z=0，C2只包含奇点z=i，,C3只包含奇点z=-i。,则根据复合闭路定理可得,4原函数与不定积分,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,定理一,如果函数f(z)在单连通域B内处处解析,由定理一可知,解析函数在单连通域内的积分只与,起点z0和终点z1有关,如图所示,有,z1,z2,B,C1,C2,z1,z2,C1,C2,B,固定z0，让z1在B内变动，令z1=z，则积分,在B内确定了一个单值函数,对这个函数我们有下面的定理。,证从导数的定义出发来证。设z为B内任意一点,以z为中心作一含于B内的小圆K,取,定理二,如果f(z)在单连通域B内处处解析,则函数,F(z)必为B内的一个解析函数,并且,在K内。于是可得,充分小使,又因,从而有,因此根据积分的估值性质有,这就是说,即,这个定理跟微积分学中的对变上限积分的求导定理,完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的,基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。,容易证明，f(z)的任何两个原函数相差一个常数。,设G(z)和H(z)是f(z)的何任两个原函数,则,定义,所以,c为任意常数。,因此,如果函数f(z)在区域B内有一个原函数F(z),即,则，它就有无穷多个原函数,而且具有一般表达式,F(z)+c，c为任意常数。,可推得跟牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数积分计,跟在微积分学中一样，定义：f(z)的原函数的一,般形式F(z)+c(其中c为任意常数)为f(z)的不定积分,利用任意两个原函数之差为一常数这一性质，,记作,算公式。,证因为,也是f(z)的原函数,所以,或,f(z)的的一个原函数,则,如果f(z)在单连通域B内处处解析,G(z)为,这里z0,z1为域B内的两点。,定理三,解,原函数为zsinz+cosz。所以,函数zcosz在全平面内解析,容易求得它有一个,有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数,的积分就可用跟微积分学中类似的方法去计算。,在所设区域内解析。它的一个原函,例2试沿区域,内的圆弧|z|=1,计算,解函数,解,例求下列积分的值:,或,解,例1求下列积分的值:,解,例1求下列积分的值:,5柯西积分公式,都是相同的。现在来求这个积分的值。,形原理，这积分的值沿任何一条围绕,的简单闭曲线,析，则函数,在,不解析。所以在B内围绕,的一条,闭曲线C的积分,一般不为零。又根据闭路变,则取以z0为中心，半径为的很小的圆周,既然沿围绕z0的任何简单闭曲线积分值都相同。,(取其正向)作为积分曲线C。,由于f(z)的连续性，在C上的函数f(z)的值将随着,的值也将随着d的缩小而接近于,其实两者是相等的,即,因此有下面的定理。,的缩小而逐渐接近于它在圆心z0处的值,从而可以,猜想,析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完,全含于D，z0为C内的任一点，则,如果f(z)在区域D内处处解,定理(柯西积分公式),周K:|z-z0|=R全部在C的内部,时,存在,当,证由于f(z)在z0连续,任给,设以z0为中心,R为半径的圆,对上式右边第二个式子整理可得,这表明不等式右端积分的模可以任意小,只要R足够小,就行了,根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以,只有在对所有的R积分值为零才有可能,因此,上式即,为要证的式子。,上式称为柯西积分公式。,如果f(z)在简单闭曲线C所围成的区域内及C上解,析，那么公式仍然成立。即,即,解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,解由公式有,例求下列积分(沿圆周方向)的值：,解由公式有,例求下列积分(沿圆周方向)的值：,解,例求下列积分(沿圆周方向)的值：,解被积函数,例计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(1)在,内有奇点,，故,解被积函数,例计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(2)在,内有奇点,，故,解被积函数,例计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(3)由复合闭路定理，有,6解析函数的高阶导数,一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导,数，它的值也可用函数在边界上的值用积分来表示。,这一点和实变函数完全不同。一个实变函数在某一区,间上可导，它的导数在这区间上是否连续也不一定，,更不要说它有高阶导数存在了。,其中C为在函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任何一条,证设z0为D内任意一点,先证n=1的情形,即,正向简单曲线,而且它的内部全含于D。,关于解析函数的高阶导数有下面的定理。,定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数,它的n,阶导数为：,先按定义有,因此就是要证,从而有,令,则,又因为f(z)在C上连续,则有界,设界为M,则在C上,|f(z)|M。d为z0到C上各点,所以,再利用同样的方法去求极限：,便可得,这也就证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数。,得了,依此类推,用数学归纳法可以证明：,此公式可以这样记忆：把柯西积分公式的两边对,z0求n阶导数，右边求导在积分号下进行，求导时把,被积函数看作是z0的函数,而把z看作常数。,在于通过求导来求积分。,高阶导数公式的作用，不在于通过积分来求导,而,解,1)函数,在C内的z=1处不解析,但,在C内却是处处解析的。有,例1求下列积分的值,其中C为正向圆周:|z|=r1。,解,2)函数,在C内的,C内以i和,闭路定理,i为中心作两个正向圆周,。则此函数,在由C，,和,所围成的区域内是解析的。根据复合,处不解析。在,由定理有,同样可得,因此,解,1)函数,在C内的z=0处不解析,但,在C内却是处处解析的。有,例求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。,解,2)函数,在C内的z=0处不解析,但,在C内却是处处解析的。有,例求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。,解,3)函数,在C内的z=0处不解析,但,在C内却是处处解析的。有,例求下列积分的值,其中C为正向圆周：|z|=1。,解被积函数,例计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(1)在,内有奇点,，故,解被积函数,例计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(2)在,内有奇点,，故,解被积函数,例计算积分,C分别为：,有两个奇点：,(3)在,内有奇点,，故,例2设函数f(z)在单连通域B内连续，且对于B内任,证,然后还可以用证明定理二相同的方法，证明,函数的导数仍为解析函数，故f(z)为解析函数。,所以F(z)是B内的一个解析函数，再根据上面定理知解析,何一条简单闭曲线C都有,证明f(z)在B内,它定义了一个z的单值函数：,解析(Morera)。,7解析函数与调和函数的关系,问题：,则和的二阶偏导有,什么性质？,即在内满足拉普拉斯(Laplace)方程：,分析：,故有,同理,设在区域内解析，得,问题：,则和的二阶偏导,有什么性质？,这里,是一种运算记号，称为拉普拉斯算子。,则称为区域内的调和函数。,连续偏导数，且满足拉普拉斯(Laplace)方程,即,定理若在区域内解析，,必为(共轭)调和函数。,从而,则,根据解析函数高阶导数定理，u与v具有任意阶的,连续偏导数，所以,因此u与v都是调和函数。,同理,从而,根据解析函数高阶导数定理，u与v具有任意阶的连,续偏导数，所以,设u(x,y)为区域D内给定的调和函数，把使u+iv在D,内构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和,函数。换句话话，在D内满足柯西-黎曼方程,利用柯西-黎曼方程求得它的共轭调和函数v，从而构成,应当指出，如果已知一个调和函数u，那么就可以,于解析函数的理论解决函数的问题。在第六章将举例说,解析函数和调和函数的上述关系，使我们可以借助,一个解析函数u+iv。下面举例说明求法。这种方法可以,称为偏积分法。,明解析函数在这个方面的应用。,的两个调和函数中，v称为u的共轭调和函数。因此，上,面的定理说明：区域D内的解析函数的虚部为实部的共,轭调和函数。,这就证明了u(x,y)为调和函数。,所以,例1证明,2)由,为调和函数，并求其共,，得,解1)因为,轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数。,从而得到一个解析函数,这个函数可以化为,此例说明，已知解析函数的实部，就可以确定它