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文档简介

第二节导数的四则运算法则,一、导数的四则运算,二、偏导数的求法,第三章函数的微分学,天马行空官方博客：,定理1设函数u(x)、v(x)在x处可导，,在x处也可导，,(u(x)v(x)=u(x)v(x);,(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);,一、导数的四则运算,且,则它们的和、差、积与商,证上述三个公式的证明思路都类似，我们只证第二个,因为,u(x+x)-u(x)=u，,即,u(x+x)=u(x)+u，,同理有,v(x+x)=v(x)+v.,y=u(x)v(x)，,令,则,y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x),=u(x)+uv(x)+v-u(x)v(x),=u(x)v+v(x)u+uv.,天马行空官方博客：,所以,推论1(cu(x)=cu(x)(c为常数).,推论2,解根据推论1可得(3x4)=3(x4)，,(5cosx)=5(cosx)，,(cosx)=-sinx，,(ex)=ex，,(1)=0，,故,f(x)=(3x4-ex+5cosx-1),=(3x4)-(ex)+(5cosx)-(1),=12x3-ex-5sinx.,f(0)=(12x3-ex-5sinx)|x=0=-1,又(x4)=4x3，,例1设f(x)=3x4ex+5cosx-1，求f(x)及f(0).,例2设y=xlnx，,求y.,解根据乘法公式，有,y=(xlnx),=x(lnx)+(x)lnx,解根据除法公式，有,例4设f(x)=tanx，,求f(x).,即,同理可得,(tanx)=sec2x.,(cotx)=-csc2x.,解,例5设y=secx，,求y.,解根据推论2，有,即,同理可得,(secx)=secxtanx.,(cscx)=-cscxcotx.,另外可求得,(以后补证),例6,在点(2,1)处的两个偏导数.,解,因为,所以,一、偏导数的求法,例7,求证：,证明,因为,将它们代入等式左边得,所以,例8设,类似地可以求得,必须分别按定义计算，,求g(x,y)在(0,0)处的两个偏导数，,解,3.偏导数的几何意义,我们知道,一元函数y=f(x)的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,y0)处切线的斜率，,而二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，,因此二元函数z=f(x,y)的偏导数的几何意义,也是曲线切线的斜率.,实际上就是一元函数z=f(x,y0)及z=f(x0,y)分别在点x=x0及y=y0处的导数,在点(x
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